Означення ідеалу кільця, приклади ідеалів.

Серед усіх підмножин кільця К особливу роль відіграють ті, які містять усі різниці своїх елементів та усі добутки своїх елементів з довільними елементами кільця. Такі підмножини кільця називаються його ідеалами.

Означення. Підмножина І кільця К називається його ідеалом, якщо

1)

2) (

Теорема 1. Всякий ідеал І кільця К є підкільцем цього кільця.

Доведення За означенням ідеалу

тобто нуль кільця К належить ідеалу І.

Тоді і, значить,

, сума будь-яких двох елементів з І належить І. За другою умовою з означення ідеалу

Отже,

1)

2)

а виконання цих умов достатнє для того, щоб підмножина кільця була підкільцем. Таким чином, І — підкільце кільця К.

Оскільки операція множення не в кожному кільці комутативна, то часто доводиться розглядати односторонні ідеали — лівосторонні, якщо

1)

2)

та правосторонні, якщо

1)

2)

Через це ідеали в розумінні означення І називають двосторонніми.

Приклади:

1) Множина всіх цілих чисел, кратних натуральному числу n, є ідеалом кільця Z цілих чисел.

2) Сукупність усіх квадратних матриць n-го порядку, в яких останній стовпець складаються з нулів, утворює лівосторонній ідеал в кільці  квадратних матриць n -го порядку над числовим полем Р.

Виділимо деякі типи ідеалів комутативного кільця К з одиницею.

Підмножина О = {0} кільця К, яка складається тільки з одного нуля, є ідеалом, так званим нульовим ідеалом. Все кільце К теж є ідеалом самого себе і називається одиничним ідеалом.

Ціідеалиназиваютьсятривіальнимиабоідеаламикільця К.

Якщо a — деякийелемент К, то множина (а)={ ak | k є К}

єідеаломкільця К, якимназиваєтьсяголовнимідеаломкільця К, породженимелементом а.

Доведенняочевидне.

 . Нехай, , , ……. . деякі елементи кільця К. Тодімножина + K } є ідеалом.

Справді, операціядодавання в кільцікомутативна, асоціативна, зв’язана з множенням, дистрибутивним законом та, крім того,

i     

Тому

1/ + )- ……+ + + ……+() = [ )]+[ ]+………+[ ] = ( - ) …….+( - ) I

2/ + ) = (k +…..+ І

Отже, І задовольняєобомумовам з означенняідеалу І, значить, є ідеалом.

Цейідеалназиваєтьсяідеалом, породженимелементами , , …….

.  - деякі елементи кільця К. Тоді множина

І = { + + …… /  , k =1,2,….. n }

Утворюєідеал, котрийназивається сумою ідеалів

Доведенняаналогічне до

.Якщо  - ідеаликільця К, то їхперетин—тежідеал.

Дійсно, якщо ,  є то , є / , є Оскільки -ідеали, то , є / , є . Тому , є  Аналогічно перевіряється друга умова з означення ідеалу.

. Нехай  – гомоморфізм з кільця в кільце . Тому його ядро  є ідеалом кільця

Справді, якщо то  і тому

 : ,

тобто

Кільце , в якому не існує нетривіальних двосторонніх ідеалів називається простим.

Приклади:

1)Кільце  всіх матриць  порядку над полем є простим.

Щоб довести це, треба показати, що коли  – деякий ненульовий ідеал кільця . Оскільки , то залишається довести, що всяка матриця із  належить . Внаслідок того, що всяку матрицю го порядку можна подати у вигляді суми матриць, в яких хіба що тільки один елемент не дорівнює 0, і всякий ідеал є підкільцем, тобто, разом із скінченною кількістю своїх елементів містить і їх суму, для доведення включення досить показати, що ідеалу  належать всі матриці із  , в яких тільки один елемент не дорівнює 0.

Отже, нехай  – деяка матриця го порядку, в якої всі елементи, крім , дорівнюють 0, а . Оскільки , то в  існує матриця  , в котрій деякий елемент . Розглянемо матрицю , в якої всі елементи, крім , дорівнюють теж 0, а елементи  і  підібрані так, що

Легко бачити, що тоді  В силу другої умови з означення ідеалу  і . Томуматриця . Яквжевідзначалося, зцьоговиходить, що

2) Всяке поле  є простим кільцем.

Справді, нехай  – довільний ідеал поля  і  — довільний його елемент. Тоді існує  і згідно з другою властивістю з означення ідеалу:

Звідси на підставі цієї ж другої умови

тобто  і, значить,

Відсутність нетривіальних ідеалів — характерна властивість полів.