Iv . Деякі інші означення групи

В літературі даються часто означення групи відмінні від означення 3 (див.приклад [1],[2]). Зараз ми ознайомимося з цими означеннями та доведемо їх еквівалентність означенню 3, тобто, покажемо, що всяка множина, яка задовольняє умови означення 3, задовольняє і умови означення 3’ та 3’’ і навпаки.

Означення 3′. Не порожня множина G називається групою, якщо на ній означена одна алгебраїчна операція, яка задовольняє таким умовам:

1) алгебраїчна операція асоціативна;

2) В G існує ліва одиниця e_{l ,} така, що

                                                      : e_la = a                                                    (1)

3) Для кожного елемента G відносно лівої одиниці e_l існує лівий обернений елемент G, такий, що

                                          e_{l .}.                                                                   (2)

Означення 3 ′′. Непорожня множина G називається групою, якщо на ній означена одна алгебраїчна операція, яка задовольняє таким умовам:

1) Алгебраїчна операція асоціативна

2) Для всяких a, b ϵ G рівняння ax = b та ya = b мають розв’язки.

Теорема 2. Означення 3 і 3′ еквівалентні.    

Доведення. Якщо множина є групою за означенням 3, тобто задовольняє умови означення 3, то вона задовольняє умови означення 3′, тобто є групою за означенням 3′. Одиничний елемент відіграє при цьому роль лівої одиниці, а обернений відіграє роль лівого оберненого.

Нехай, навпаки, задовольняє умовам означення 3′. Щоб довести, що вона задовольняє умовам означення 3), досить, очевидно, показати, що ліва одиниця є одночасно і правою, тобто для

                                                      : ae_l = a (3)

і лівий обернений ’ є одночасно і правим оберненим, тобто

                                                      : aa ^/ = e_l                                                                          (4)

Покажемо спочатку справедливість співвідношення (4). Для цього домножимо рівність (2) справа на елемент . Внаслідок однозначності операції множення (добуток двох елементів єдиний) рівність при цьому не порушується:

(

В силу умови 3) означення 3′елемент  має лівий обернений . Домноживши останню рівність зліва на елемент і скориставшись асоціативністю, одержимо:

Оскільки a ′′- лівий обернений елемент до a , тобто a ′′ a ′ = e_{l ,}, то остання рівність перепишеться так:

e _l(aa ′)= e_l або, інакше, aa ′ = e_l

чим справедливість співвідношення (4) доведено.

Переконаємось зараз в справедливості відношення (3). Для цього перетворимо ліву частину, використавши послідовно формулу (2), асоціативність множення, формули (4) і (1): ae_l = a (a ^/ a)= (aa ^/) a = e_la = a.

Отже,  множина G є групою і за означенням 3.

Теорема 3. Означення 3 і  еквівалентні.

Доведення. Якщо множина G задовольняє умови означення 3, то, як це безпосередньо випливає з означення 3 і властивості , вона задовольняє і умови означення

Навпаки, нехай множина G задовольняє умови означення  Ми покажемо, що множина при цьому задовольняє умови означення , звідки на підставі теореми 2 буде виходити, що множина G задовольняє і умови означення 3. Отже, треба показати, що в G існує ліва одиниця, по відношенні до якої кожен елемент має лівий обернений елемент.

Щоб довести існування в G лівої одиниці, тобто такого елемента , який задовольняє співвідношення (1), зауважимо, що за умовою рівняння у  має розв’язок який позначимо через  . покажемо, що  є лівою одиницею, тобто, що для (): . З цією метою приймемо до уваги, що рівняння ax = b має розв’язок , внаслідок чого

Отже, для (): , тобто  — ліва одиниця в Г. Внаслідок того, що за умовою для всякого рівняння yb = , має розв’язок по відношенні до лівої одиниці  кожен елемент має лівий обернений.

Таким чином, множина G є групою згідно з означення , а в силу теореми 2 і згідно з означенням 3.

Вправи.

1. Чи еквівалентні означення  і  ?

2. Якщо множина G і підгрупою відносно до означення , то чи є розв’язки рівнянь ax = b і ya = b єдиним?

 

2. Підгрупи. Циклічні групи.