Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления	Главная Избранные Случайная статья Познавательные Новые добавления Обратная связь FAQ Методы принятия управленческих решений Стр 1 из 8Следующая ⇒ Методы принятия управленческих решений Модуль 2. Методы принятия управленческих решений в распределительных и финансово-экономических задачах Тема 1. Управленческие решения в задачах распределительного типа 1.1. Метод потенциалов нахождения оптимального плана перевозок в транспортных задачах 1.2. Множественность управленческих решений в транспортных задачах 1.3. Задачи распределительного типа § Защита Индивидуального задания (задача №2) Тема 2. Управленческие решения в задачах финансового менеджмента 2.1. Принятие решений в финансовых операциях с простыми процентами 2.2. Принятие решений в финансовых операциях со сложными процентами 2.3. Принятие решений при изменении условий контрактов § Контрольная работа «Принятие финансовых управленческих решений» Тема 1. Управленческие решения в задачах распределительного типа 1.1. Метод потенциалов нахождения оптимального плана перевозок в транспортных задачах Транспортные задачи по критерию стоимости и времени. Составление математической модели транспортной задачи. Нахождение опорного решения. Метод потенциалов. Примеры решения типовых задач Пример 9. Решить транспортную задачу. Таблица 27 Запасы груза	Потребности в грузе
300	500	100	200
100	3	6	5	1
400	1	4	3	2
600	4	3	1	2

Решение

1. Проверим условие разрешимости транспортной задачи:

; .

Таким образом, ТЗ закрытая и, следовательно, имеет оптимальное решение.

2. Запишем математическую модель ТЗ.

Обозначим через   количество перевезенного груза из   () в   (), при этом . Составим систему ограничений:

условия вывоза груза

условия доставки груза

Суммарные затраты на перевозку груза равны

.

Требуется найти такое неотрицательное решение  системы ограничений, при котором функция  принимает наименьшее значение.

3. Построим исходный план перевозок методом «минимального элемента».

Последовательность заполнения клеток в распределительной таблице следующая: (2,1), (1,4), (3,3), (3,4), (3,2), (2,2).

Таблица 28

		Потенциалы

Потребности в грузе

Потенциалы Запасы груза 300 500 100 200

100

3 6 5 1       100

400

1 4 3 2 300 100-          +

600

4 3 1 2   400 + 100 100 -

 

В плане перевозок  число заполненных клеток равно m + n –1 = 3+4–1 = 6. Транспортные расходы составляют _.

4. Методом потенциалов проверим план перевозок на оптимальность.

Найдем потенциалы  и  из системы уравнений, составленных для заполненных клеток:

В системе 6 уравнений, что меньше числа неизвестных , поэтому система имеет бесконечное множество решений, а число свободных неизвестных равно 7 – 6 = 1. Придадим неизвестной  (она чаще всего встречается в системе) произвольное значение . Тогда остальные потенциалы равны:

; ; ; ; ; ; .

Вычислим оценки, соответствующих свободным клеткам:

D11 = с 11 + a1 – b1 = 3 + 1 – 0 = 4;	D12 = с 12 + a1 – b2 = 6 + 1 – 3 = 4;
D13 = с 13 + a1 – b3 = 5 + 1 – 1 = 5;	D23 = с 23 + a2 – b3 = 3 –1 – 1 = 1;
D24 = с 24 + a2 – b4 = 2 – 1 – 2 = – 1;	D31 = с 31 + a3 – b1 = 4 + 0 – 0 = 4.

 

Оценка , поэтому план перевозок  не оптимален, т.е. транспортные расходы не являются наименьшими.

5. Улучшим план перевозок.

Построим в таблице 28 цикл для клетки (2,4): (2,4), (2,2), (3,2), (3,4). Припишем знаки «+» и «–» вершинам цикла, начиная с «+» в клетке (2,4), последовательно чередуя знаки. Найдем число  (для отрицательных клеток). Переместим  по циклу: вычтем 100 из значений отрицательных клеток и прибавим 100 к значениям положительных. В результате клетка (2,4) стала занятой, , а две клетки (2,2) и (3,4) освободились.

Запасы груза	Потребности в грузе
	300	500	100	200
100	3	6	5	1
				100
400	1	4	3	2
	300	100
600	4	3	1	2
		400	100	100

В новом плане перевозок заполненных клеток 5, а должно быть 6. Из двух освободившихся клеток (3,4) и (2,2) заполним базисным нулем клетку (3,4), так как ей соответствует меньшая стоимость перевозок , а клетку (2,2) оставим свободной.

Запасы груза	Потребности в грузе
	300	500	100	200
100	3	6	5	1
				100
400	1	4	3	2
	300			100
600	4	3	1	2
		500	100	0

 

Получим новый план перевозок , для которого транспортные расходы равны

.

6. Проверим план перевозок  на оптимальность.

Найдем потенциалы  и  из новой системы уравнений, составленных для заполненных клеток таблицы 30:  

При  получим одно из решений этой системы:

a₁ = 1, a₂ = 0, a₃ = 0, b₁ = 1, b₂ = 3, b₃ = 1, b₄ = 2.

Все оценки свободных переменных положительны:

D11 = с11 + a1 - b1 = 3 + 1 – 1 = 3;	D12 = с12 + a1 - b2 = 6 + 1 – 3 = 4;
D13 = с13 + a1 - b3 = 5 + 1 – 1 = 5;	D23 = с23 + a2 - b3 = 3 + 0 – 1 = 2;
D22 = с22 + a2 - b2 = 4 + 0 – 3 = 1;	D31 = с31 + a3 - b1 = 4 + 0 –1 = 3.

 

Отсутствие отрицательных оценок является признаком оптимальности плана перевозок , при котором значение целевой функции минимально и равно .

7. Дадимэкономическое истолкование оптимального решения.

Для того чтобы затраты на перевозку груза из пунктов , ,  были наименьшими и составляли 2200, нужно отправить: 1) 100 ед. груза из  в ; 2) 300 ед. груза из  в  и 100 ед. из  в ; 3) 500 ед. груза из  в  и 100 ед. груза из  в .

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Дана распределительная таблица транспортной задачи.

Таблица 31

Запасы груза	Потребности в грузе
	10	11	8	6
12	10	3	5	8
5	5	7	6	4
18	1	4	3	7

 

Построить в данной распределительной таблице планы перевозок методами "северо-западного угла" и "минимального элемента". Вычислить значения транспортных расходов для этих планов, считая, что элементы  внутри клеток - тарифы на перевозку единицы груза из пункта   в пункт . Сравнить полученные планы по критерию наименьших общих транспортных расходов.

Задача 2. Решить транспортную задачу методом потенциалов.

Условия транспортной задачи представлены в распределительной таблице.

1. Проверить, является ли транспортная задача закрытой.

2. Построить математическую модель задачи.

3. Построить в распределительных таблицах планы перевозок методами «северо-западного угла» и «минимального элемента».

4. Вычислить значения транспортных расходов для этих планов перевозок, считая, что элементы  - тарифы на перевозку единицы груза из пункта   в пункт .

5. Найти оптимальный план перевозок методом потенциалов.

 

1. Таблица 32

Запасы груза	Потребности в грузе
	70	40	30	60	50
80	4	2	5	7	6
50	7	8	3	4	5
120	2	1	4	3	2

2. Таблица 33

Запасы груза	Потребности в грузе
	40	30	40
50	3	1	5
60	1	2	3

 

3. Таблица 34

Запасы груза	Потребности в грузе
	30	60	10	20
20	3	6	5	1
40	1	4	3	2
60	4	3	1	2

 

Примеры решения типовых задач

Пример 6. Решить открытую транспортную задачу.

  Таблица 35

Запасы груза

Потребности в грузе

20 45 30 75 7 3 6 40 4 8 2 35 1 5 3

 

Решение.

Объем запасов  превышает объем потребностей  на 55 единиц, следовательно, транспортная задача открытая.

Составим математическую модель.

Пусть   количество перевезенного груза из   () в   (), при этом . Составим систему ограничений:

условия вывоза груза

условия доставки груза

Суммарные затраты на перевозку груза равны

.

Требуется найти такое неотрицательное решение  системы ограничений, при котором функция  принимает наименьшее значение.

 

Введем дополнительный фиктивный пункт назначения с объемом потребностей  и значениями затрат на перевозку . Получим закрытую транспортную задачу.

Исходное опорное решение, найденное методом «минимального элемента», представлено в таблице 36. В этом случае, в первую очередь, заполняем клетки, соответствующие реально возможным перевозкам (т.е. не клетки последнего столбца).

     

 

 

Таблица 36

Запасы груза	Потребности в грузе
	20	45	30	55
75	7	3	6	0
		45		30
40	4	8	2	0
			30	10
35	1	5	9	0
	20			15

 

Число заполненных клеток , полученное решение опорное. Можно доказать, что полученный план перевозок сразу получился оптимальным.

 

 

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3. Решить открытую транспортную задачу методом потенциалов.

1. Таблица 37

Запасы груза	Потребности в грузе
	20	50	10	20
10	3	5	6	1
40	1	4	3	2
60	3	2	1	3

 

2.   Таблица 38

Запасы груза	Потребности в грузе
	30	50	20
10	3	1	5
40	1	2	3
40	4	3	1

 

Задача 4. Решить транспортную задачу методом потенциалов.

Исходные данные:  - склады;  - лесопильные заводы,  - суточная пропускная способность складов, куб. м;   - спрос лесопильных заводов, куб. м/сутки;  - издержки на переработку 1 куб. м лесных материалов складом  и транспортировку их заводу , руб /куб.м.

Составить оптимальный план перевозки сырья из складов на лесопильные заводы, если требуется получить наименьшие суммарные издержки.

.

Задача 5.

Студенческие отряды СО-1, СО-2 и СО-3 численностью 70, 99 и 80 человек принимают участие в сельскохозяйственных работах. Для уборки картофеля на полях П₁, П₂, П₃ и П₄ необходимо выделить соответственно 47, 59, 49 и 43 человека. Производительность труда студентов (в центнерах на человека за рабочий день) зависит от урожайности картофеля, от численности отряда и характеризуется для указанных отрядов и полей и представлена в матрице:

Таблица 39

Поля Отряды		П1	П2	П3	П4	Сумма
		47 чел	59 чел	49 чел	43 чел	198 чел
СО-1	70 чел	3	7	2	5
СО-2	99 чел	2	3	4	6
СО-3	80 чел	6	4	3	5
	Сумма 249 чел

 

Требуется:

1) Распределить студентов по полям так, чтобы за рабочий день было собрано максимально возможное количество картофеля.

2) Определить, сколько центнеров картофеля будет убрано с четырех полей при оптимальном распределении студентов.

 

 

Дополнительные задачи

Задача 1* (транспортная задача).

1. Пользуясь печатным или электронным источником, отыскать задачу (с вполне конкретными данными), приводящую к сбалансированной транспортной задаче. Число т пунктов отправления должно подчиняться неравенству т ≥ 4, а число п пунктов назначения — неравенству ≥ 5.

2. Составить соответствующую таблицу.

3. Найти какое-нибудь опорное решение.

4. Действуя пошагово, преобразовать найденное опорное решение в оптимальное.

5. Правильно оформить полученный ответ, сделать необходимые выводы и проинтерпретировать полученные результаты.

 

Примеры решения типовых задач

Задача о назначениях - одна из разновидностей задач распределительного типа (ЗРТ), в которой для выполнения каждой работы требуется один и только один ресурс (один работник, один станок, одна автомашина и т.д.). Другими словами, ресурсы не делимы между работами, а работы не делимы между ресурсами. Таким образом, задача о назначениях является частным случаем ТЗ рассматривающая назначение сотрудников на должности или работы, автомашин на маршруты, водителей на автомашины и т.п.

Пример 7. Распределительная задача.

Составить экономико-математическую модель задачи.

В цехе изготовляются три вида изделий А, В и С, причем каждое изделие может производиться на любом из имеющихся двух групп оборудования - токарных станках-полуавтоматах (I) и автоматах (II).

Время изготовления и затраты по обработке отдельных изделий на станках первой группы равны соответственно 0,9; 0,8; 0,6 часов и 14; 13; 8 ден. ед.; на станках второй группы - 0,8; 0,7; 0,4 часов и 12; 10; 6 ден. ед.

Имеется заказ на изготовление 100 изделий вида А, 200 – вида В и 280 – вида С. Наличное время работы станков ограничено и составляет 350 станко-ч для станков-полуавтоматов и 110 - для станков-автоматов.

Нужно так распределить производство трех видов изделий на двух группах взаимозаменяемого оборудования, чтобы план по номенклатуре был выполнен и затраты на обработку сводились к минимуму.

Решение

Через  обозначим количество изделий -го вида (), обрабатываемых на -й группе оборудования (), и занесем данные в таблицу.

 

 Таблица 40 - Исходные данные распределительной задачи

Группы оборудования

(токарные станки)

Вид изделия

Вариант 1

1. Дайте экономическую постановку транспортной задачи (ТЗ) по критерию стоимости.

2. Опишите правило преобразования открытой модели ТЗ в закрытую, если . Каков экономический смысл дополнительных переменных в оптимальном плане перевозок открытых транспортных задач, если ?

3. Опишите сущность метода потенциалов нахождения оптимального плана перевозок ТЗ.

4. Как определить с помощью потенциалов, будет ли план перевозок ТЗ оптимальным?

Вариант 2

1. Сколько переменных  содержит математическая модель закрытой ТЗ?

2. Каков экономический смысл неравенства ? Составьте математическую модель этой ТЗ. Каков экономический смысл дополнительных переменных в оптимальном плане перевозок открытых транспортных задач ?

3. Сформулируйте признак оптимальности плана перевозок ТЗ, решаемой методом потенциалов.

4. Как определяется наименьшая загрузка свободной клетки, с помощью которой происходит перемещение груза по циклу?

Вариант 3

1. Запишите математическую модель закрытой ТЗ по критерию стоимости, дайте экономическое истолкование переменным, ограничениям и целевой функции.

2.  Опишите построение в распределительной таблице исходного опорного плана перевозок методом «северо-западного угла».

3. С какой целью и как строится цикл пересчета в распределительной таблице, если план перевозок не является оптимальным? Как определяется загрузка свободной клетки, с помощью которой происходит перемещение груза по циклу?

4. Опишите процесс решения открытой транспортной задачи с условием .

Вариант 4

1. Составьте математическую модель ТЗ, для которой .

2. Опишите построение в распределительной таблице исходного опорного плана перевозок методом «минимального элемента».

3. Запишите формулу для вычисления оценок  свободных переменных в ТЗ с помощью потенциалов  и  пунктов отправления и назначения.

4. Каков признак бесконечного множества оптимальных планов перевозок в ТЗ? Как найти в этом случае общее оптимальное решение?

 

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Предприятию перечислили сумму, составляющую  от  тыс. руб. Найти эту сумму.

Решение

Составим пропорцию: , или . Отсюда .

Ответ: сумма равна 90 тыс. руб.

Пример 2. Фирма реализовала партию товара за  тыс. руб., получив при этом  прибыли. Найти эту прибыль.

Решение

Обозначим себестоимость товара через . Величина  представляет собой сумму себестоимости товара  и полученной прибыли . Поэтому . Отсюда . Следовательно, прибыль равна .

Ответ: прибыль равна 20 тыс. руб.

Пример 3. Завод выпускал  часов в месяц. После повышения цен на отдельные детали завод стал выпускать  часов в месяц при прежнем количестве работающих. На сколько процентов изменилась производительность труда?

Решение

Обозначим  - число рабочих на заводе. До повышения цен производительность труда , а после повышения цен производительность труда стала , то есть уменьшилась.

Составим пропорцию: . Отсюда , т.е. производительность труда уменьшилась на .

Ответ: на 25% уменьшилась.

 

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Имеется два варианта вложения капитала на два года. Согласно первому варианту, исходный капитал за первый год увеличится на 50%, а за второй год вся сумма увеличится на 10%. Для второго варианта рост капитала составит каждый год 30% от суммы предыдущего года. Какой вариант лучше? (Второй вариант лучше, т.к. при первом варианте капитал за 2 года увеличится на 65%, при втором - на 69%).

Задача 2. Партия товара была куплена предпринимателем за 200 тыс. руб., а продана за 325 тыс. руб. Сколько процентов прибыли получил предприниматель? (62,5%)

Задача 3. Товарооборот магазина в июне составил 940 тыс. руб., а в июле - 890 тыс. руб. На сколько процентов уменьшился товарооборот в июле? (на 5,32%)

Задача 4. За продажу дачного участка комиссионер получил 8 тыс. руб., что составило 5% с продажной цены. Определите, за какую сумму был продан дачный участок. (160 тыс. руб.)

Задача 5. Предприниматель, купив первую и вторую партии товара соответственно за 36 тыс. руб. и 42 тыс. руб., продал их соответственно за 48 тыс. руб. и за 58 тыс. руб. При продаже какой партии был получен больший процент прибыли? (При продаже второй партии товара, т.к. в первом случае получено 33,33% прибыли, во втором - 38,10% прибыли).

Задача 6. Общий заработок рабочего, включая премию в размере10% от месячного оклада, составил 1980 руб. Найдите величину премии и величину оклада. (180 руб., 1800 руб.)

Задача 7. Предприниматель за 1 кг некоторого товара хочет получить 12 руб. 60 коп. Какую цену ему следует назначить, чтобы, сделав 3%-ную скидку, получить 12 руб. 60 коп. за 1 кг? (12 руб. 99 коп.)

 

Примеры решения типовых задач

Пример 4. Начисление простых годовых процентов

Ссуда в размере  рублей выдана на три года по простой ставке процентов  годовых.

1. Найти сумму процентных денег, выплачиваемых за каждый год.

2. Записать последовательность сумм, начисленных к концу первого, второго, третьего года.

3. Найти наращенную сумму за три года.

4. Каковы проценты за весь срок ссуды?

Решение

По условию задачи, =1000, =0,2, =3.

1. За каждый год выплачивается сумма процентных денег  руб.

2. В конце первого года наращенная сумма равна  руб., в конце второго года  руб., в конце третьего года - сумма  руб.

3. Величину наращенной суммы за три года вычислим по формуле  руб.

4. Проценты за весь срок ссуды найдем по формуле  руб.

Ответ. 1. 200 руб. 2. 1200, 1400, 1600 руб. 3. 1600 руб. 4. 600 руб.

Пример 5. Расчет простых процентов для краткосрочных ссуд

Какова годовая ставка  простых процентов, если первоначальный вклад величиной  рублей через  месяца увеличился на   рублей?

Решение

По условию задачи,  = 259500,  = 2,  = 86500. Из формулы  найдем годовую ставку процентов  и подставим заданные величины: .

Пример 6. Переменные ставки простых процентов

Вклад на сумму  тыс. руб. был положен в банк на условиях: в первый год простая процентная ставка равна  годовых, а каждые последующие полгода ставка повышается на . Найти наращенную сумму за два года.

Решение

Введем обозначения: ,  (год),  (лет),  (лет), , , .

Наращенная сумма за два года составит  тыс. руб.

Если на весь срок два года (  установить процентную ставку , или  годовых, то она дает такой же результат, что и переменные ставки:  тыс. руб.

Пример 7. Начисление простых процентов на переменные суммы

Вклад на сумму  руб. был положен в банк  г. при ставке  годовых.  сентября вклад был дополнен суммой  руб., а  декабря счет закрыт. Определить наращенную сумму к концу срока при расчете по точным простым процентам.

Решение

По точным процентам временнбя база равна  дней.

Найдем точное количество дней с  февраля по  сентября, используя таблицу порядковых номеров дней в году (см. Приложение):  день. Значит, за срок с  февраля по  сентября начисленные проценты на сумму  руб. по ставке  составят  руб. Найдем наращенную сумму за срок с  февраля по  сентября:  руб.

Остаток вклада, после его увеличения 10 сентября на  руб., составит  руб.

С 10 сентября по 31 декабря точный срок вклада равен  дней. К концу этого срока начисленные проценты на сумму  составят  руб. Значит, к концу срока вклад составит  руб.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 8. Предоставлена ссуда $3000 16 января с погашением через 9 месяцев под 25% годовых (год невисокосный). Рассчитайте суммы к погашению при различных способах начисления процентов: а) обыкновенный процент с точным числом дней, б) обыкновенный процент с приближенным числом дней, в) точный процент с точным числом дней.

Задача 9. Иванов взял в Сбербанке ссуду  рублей. Если банк начисляет  рублей процентных денег за использование этой суммы в течение  месяцев, какой будет ставка простого процента за этот период?

Задача 10. Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере  руб. вырастет до  руб., если банк проводит расчеты с клиентами по простой ставке  годовых.

Задача 11. Какова годовая ставка  простых процентов, если первоначальный вклад величиной  рублей через  лет увеличился на сумму  рублей?

а) = 6,        = 23 500 руб.,  = 21 150 руб.,

б)  = 5,       = 18 300 руб.,  =128 100 руб.,