Свойства определённого интеграла

1)

2)

3)

4)

5) Если функция f (x) интегрируема на отрезках [ a; c ] и [ c; b ], то она интегрируема и на отрезке [ a; b ], причём верно равенство:

 

при любом расположении точек a, b и c на оси Ox.

6) Если f (x) ³ 0 при x Î [ a; b ], то

7) Если на отрезке [ a; b ]     f (x) ³ g (x), то

8) Теорема 2 (о среднем значении определённого интеграла). Если функция   f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то на этом отрезке найдётся хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

Доказательство. Так  как   функция   f (x) на  отрезке  [ a; b ]  непрерывна, то она достигает на этом отрезке своих наименьшего “ m ” и наибольшего “ M ” значений.   Тогда     m £ f (x) £ M    для  любого x Î[ a; b ].   По  свойству 7 определённого интеграла можно записать неравенство:

 

Так как m и M – постоянные числа, то

                                        (*)

Вычислим по определению определённого интеграла

Тогда неравенство (*) можно переписать в виде:

.

Разделим все части полученного неравенства на (b – a) > 0 (длина отрезка интегрирования):

Так как функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она принимает все значения, заключённые между наименьшим “ m ” и наибольшим “ M ” значениями. Значит найдётся на отрезке [ a; b ] хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

.

Теорема доказана.

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница

Интеграл с переменным верхним и постоянным нижним пределами и его свойства

Определение 4. Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ]. Тогда она непрерывна на отрезке [ a; x ] для любого x Î [ a; b ]. Следовательно, на отрезке [ a; b ] определена функция , которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Свойства этой функции сформулируем в виде теоремы.

Теорема 3. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ]. Тогда функция  обладает свойствами:

1) непрерывна на отрезке [ a; b ];

2) имеет производную F ' (x) в каждой точке x Î[ a; b ], удовлетворяющую равенству .

Доказательство. Вычислим приращение функции F (x), причём D x возьмём таким, чтобы точка x + D x Î [ a; b ].

Тогда

.

Применим к полученному интегралу теорему о среднем значении определённого интеграла, т.е. на отрезке [ x; x + D x ] существует такое число c, в котором выполняется равенство:

Значит, D F = f (c)×D x, где c Î [ x; x + D x ].

Если D x ® 0, то c ® x  (так как x < c < x + D x).

Поэтому, в силу непрерывности f (x), получим f (c) ® f (x) при D x ®0.

Таким образом, D F ®0 при D x ®0, что доказывает непрерывность F (x).

Кроме того, вычисляя предел отношения D F к D x при D x ® 0, получим:

,

т.е. существует конечный предел отношения D F к D x при D x ® 0, что означает существование производной F ' (x) = f (x).

Теорема доказана.

Из теоремы 3 следует, что функция  является первообразной для функции f (x).

 

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема 4. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и F(x) – какая-либо её первообразная на отрезке [ a; b ]. Тогда определённый интеграл от функции f (x) по отрезку [ a; b ] равен разности значений функции F(x) в точках b и a:

Доказательство. Из теоремы 3 следует, что наряду с функцией F(x) функция  также является на  отрезке [ a; b ] первообразной для f (x). Тогда по свойству первообразных для одной и той же функции на некоторой области имеем:

                  для любого x Î [ a; b ]                     (**)

Вычислим значение const. Для этого, используя свойство 1 определённого интеграла (§3, п.2, с. 93) , рассмотрим равенство (**) при x = a:

Следовательно, равенство (**) можно переписать в виде:

для x Î [ a; b ]

Теперь рассмотрим полученное равенство при x = b:

Это и есть формула Ньютона–Лейбница. Она является основной формулой интегрального исчисления, устанавливающей связь между определённым и неопределённым интегралами, и даёт правило вычисления определённого интеграла.

Замечание. Формулу Ньютона–Лейбница часто записывают в виде:

 ,

где используется обозначение:

.

Задача вычисления определённого интеграла свелась к нахождению первообразной непрерывной функции.

Пример 1. Вычислить интеграл:

Ответ: .

Пример 2. Вычислить интеграл:

.

 

Ответ: .