Схема исследования функции. Построение графика

1) Найти область определения функции y = f (x) – множество D (f) тех значений x, при которых функция y = f (x) имеет смысл.

2) Исследовать функцию на периодичность: выяснить, существует ли наименьшее положительное число T такое, что f (x + T) =   f (x) для любого x Î D (f). Если «да», то целесообразно далее исследовать функцию и строить её график только на некотором отрезке длиной периода T. Затем продолжить график на всю область определения, разбивая её на интервалы длины T, в которых повторяется картинка графика.

3) Исследовать функцию на чётность и нечётность: выяснить,     выполняются ли равенства:

f (– x) = f (x) для любого x Î D (f) – чётность  

или  

f (– x) = – f (x) для любого x Î D (f) – нечётность.

Это позволяет узнать, есть ли симметрия графика: относительно оси O y – чётная  или относительно начала координат – нечётная.

4)  Найти точки пересечения графика функции с осями координат:

· с осью O y: точка (0; f (0)), если 0 Î D (f),

· с осью O х: точка (x _k; 0), где x _kÎ D (f) и является решением уравнения      f (x) = 0.

5) Найти промежутки знакопостоянства: выяснить, при каких x Î D (f) выполняются неравенства f (x) > 0 (график функции расположен выше оси O x) и f (x) < 0 (график функции расположен ниже оси O x).

6) Исследовать функцию на непрерывность, установить тип точек разрыва (см. §3, п.2, с. 19).

7) Найти вертикальные и наклонные асимптоты (см. §6, п.1, с. 43).

8) Найти промежутки убывания и возрастания, экстремумы функции (см. §6, п.2, с. 45 и п.3, с. 46).

9) Найти множество E (f) значений функции.

10) Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика (см. §6, п.4, с. 49).

11) Построить график функции, используя свойства, установленные в проведенном исследовании. Если в некоторых промежутках график остался неясным, то его уточняют по дополнительным точкам.

Пример. Исследовать функцию y = (x + 2) e ^{– x}  и построить её график.

1) D (y) = R.

2) Функция не периодическая.

3) Так как y (– x) ≠ y (x) и y (– x) ≠ – y (x), то функция общего вида, не является ни чётной, ни нечётной.

4) Точка пересечения графика с  осью O x: (– 2; 0),  с O y: (0; 2)

5) При x Î (–¥; –2) функция отрицательная, при x Î (–2; +¥) функция положительная.

6) Функция непрерывна при x Î R.

7) Вертикальных асимптот нет. Наклонные асимптоты: y = kx + b.

а)

   k = 0  при x ® +¥

b = 0 при .

Следовательно,   y = 0 – наклонная (горизонтальная) асимптота при .

б)  

при  наклонной асимптоты нет.

8)   f '(x) = ((x + 2) e ^{– x} ) ' = 1× e ^{– x} +(x + 2)×(– e ^{– x} ) = e ^{– x} (1 – x – 2) = –(x + 1) e ^{– x} .

D (y ') = R.

  y '  = 0: – (x +1) e ^{– x} = 0 Þ x = – 1,   f (–1) = 1× e ¹ = e.

 

 

при x Î (– ¥;– 1) f (x) возрастает,

при x Î(– 1;+¥) f (x) убывает,

при x = –1    f _max (– 1) = (– 1+2) e ^{– (– 1)} = e.

9) E (f) =  (–¥; e), так как

и   f _max (–1) = e.

10) f ''(x) = (– (x + 1) e ^{– x}) ' = – 1 e ^{– x} + (x + 1) e ^{– x} = e ^{– x} (x + 1 – 1) = xe ^{– x}.

D (f '') = R

f '' (x) = 0: xe ^{– x} = 0 Þ x = 0,   f (0) = 2.

 

при x Î (– ¥;0) график   f (x)  выпуклый

при x Î (0;+¥) график f (x) вогнутый

Точка (0;2) – точка перегиба графика.

11) Результаты проведенного исследования cведём в таблицу и построим график (рис. 12)

Таблица

Результаты исследования функции y = (x + 2) e ^{– x}

x	(– ¥;– 1)	– 1	(– 1;0)	0	(0;+¥)
знак f ' (x)	+	0	–	–	–
знак f '' (x)	–	–	–	0	+
F (x)		e		2

 

Рис. 12