Понятие неопределённого интеграла

Определение 2. Множество всех первообразных для данной функции f (x) на интервале (a; b) называется неопределённым интегралом функции f (x) на этом интервале и обозначается символом:

 

В обозначении  знак называется знаком интеграла,  – подынтегральным выражением,  – подынтегральной функцией,  – переменной интегрирования.

Теорема 2. Если функция f (x) непрерывна на промежутке (a; b), то она имеет на промежутке (a; b) первообразную и неопределённый интеграл.

Замечание. Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции f (x) на некотором промежутке носит название интегрирования функции f (x).

 

Свойства неопределённого интеграла

Из определений первообразной F (x) и неопределённого интеграла от данной функции f (x) на некотором промежутке следуют свойства неопределённого интеграла:

1. .

2. .

3. , где С – произвольная постоянная.

4. , где k = const.

5.

 

Замечание. Все вышеперечисленные свойства верны при условии, что интегралы, фигурирующие в них, рассматриваются на одном и том же промежутке и существуют.

 

Таблица основных неопределённых интегралов

Действие интегрирования является обратным действию дифференцирования, т.е. по заданной производной функции f (x) надо восстановить начальную функцию F (x). Тогда из определения 2 и таблицы производных (см. §4, п. 3, с. 24) получается таблица основных интегралов.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

В формулах 1-16    С – произвольная постоянная.

Замечание. Интеграл, взятый не от любой элементарной функции, является элементарной функцией. Примерами могут служить следующие интегралы, часто встречающиеся в задачах:

 

 – интеграл Пуассона,

 – интегралы Френеля,

 – интегральный логарифм,

 – интегральный косинус и синус.

Указанные функции существуют и имеют важное прикладное значение. Для этих функций составлены таблицы значений.

 

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Непосредственное интегрирование

а) Работа с таблицей: предложенный интеграл оказался одним из табличных интегралов. В этом случае требуется безошибочно найти соответствующую формулу таблицы основных интегралов и ею воспользоваться.

Пример 1.

1.    (формула 14)

2.   (формула 16)

б) Метод разложения: предложенный интеграл после применения линейных свойств (4 и 5) неопределённого интеграла заменяется на алгебраическую сумму табличных интегралов.

Пример 2.

Ответ: .

Пример 3.

Ответ: .

Пример 4.

Ответ:

в) Подведение под знак дифференциала: предложенный интеграл удается свести к табличному с помощью изменения переменой интегрирования или за счёт преобразований под знаком дифференциала. При этом используют следующие формулы:

d(j(x)) = j'(x)d x;

и т.д.

Далее используют тот факт, что если известен результат

,

то равенство

будет справедливо для любой дифференцируемой функции u = j(x).

Пример 5.

Ответ: .

 

Пример 6.

.

Ответ: .

 

Пример 7.

Ответ: .

Пример 8.

.

Ответ: .

Пример 9.

.

Ответ: .

 

Интегрирование подстановкой

Подстановка (или замена переменной) базируется на следующей теореме.

Теорема 1. Если не удаётся найти интеграл  непосредственно, то можно выбрать такую функцию x = j(t), удовлетворяющую условиям:

1) j(t) непрерывна при t Î (a;b), соответствующем интервалу x Î (a; b),

2) дифференцируемая при t Î (a;b);

3) имеет обратную функцию t = j^–1(x),

чтобы

 ,   t = j^–1(x)

стал табличным или более простым. Иногда для упрощения интеграла можно сделать замену t = y(x).

Замечание. Выбор правильной подстановки в значительной степени зависит от искусства вычисляющего.

 

 

Пример 10.

  

.

Ответ: .

Пример 11.

 

 

.

Ответ: .

Пример 12.

.

Ответ: .

Пример 13.                   

.

Ответ: .

 

Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям базируется на следующей теореме.

Теорема 2. Пусть функции u = u (x) и v = v (x) дифференцируемы на некотором интервале (a; b). Пусть на интервале (a; b) функция v (x)× u '(x) имеет первообразную. Тогда на интервале (a; b) функция u (x)× v '(x) также имеет первообразную. При этом справедливо равенство:

.

Доказательство. По формуле дифференцирования произведения:

(u (x)× v (x))'= u '(x)× v (x) + u (x)× v '(x)

и свойству неопределённого интеграла:

можно записать:

Замечание 1. Определение дифференциала и свойства инвариантности его формы позволяют переписать формулу интегрирования по частям в более короткой форме:

.

Замечание 2. Для успешного вычисления интеграла необходимо разумно разбить подынтегральное выражение на два множителя u (x) и   d v (x) так, чтобы интеграл  оказался легко интегрируемым.

Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся с помощью метода интегрирования по частям, может быть разбита на следующие три группы.

1)Кпервой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций:

ln x; arcsin x; arccos x; arctg x; arcctg x; ln² x; lnj(x); arcsin² x;…

при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.

Тогда за функцию u (x) берут соответствующую из перечисленных.

2) Ковторой группе относятся интегралы вида:

, ,

, ,

где a, b, a, n, A – некоторые постоянные числа, A > 0, n Î N.

 

При этом в качестве u (x) следует брать (ax + b) ⁿ и интегрировать по частям n раз.

3) К третьей группе относятся интегралы вида:

, , ,

, , ,

где a, b, A – постоянные числа, A > 0,   A ≠ 1.

Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям при любом выборе u (x). Это приводит к линейному уравнению относительно предложенного интеграла, откуда его и находят.

Замечание. Указанные три группы не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.

 

Пример 14.

Ответ:

Пример 15.

Ответ:

Пример 16.

Ответ:

Пример 17.

Ответ:

Пример 18.

Далее необходимо решить уравнение:

Пусть , тогда уравнение запишется в виде:

.

Ответ: .

Пример 19.

 

.

Пусть , тогда получаем уравнение вида:

.

Ответ: .