Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Геометрический смысл дифференциала
Рассмотрим график дифференцируемой функции y = f (x) в некоторой окрестности точки x 0 (рис. 6):
Рис. 6 Из D M 0 AN AN = M 0 A ×tg a = D x × f '(x 0) = d y. Итак: дифференциал функции y = f (x) в точке x 0 равен приращению ординаты касательной (AN), проведённой к кривой y = f (x) в точке (x 0; f (x 0)), при переходе от x 0 к x 0+D x (от точки М 0 в точку М). Инвариантность формы дифференциала Теорема 14. Пусть функция y = f (u) дифференцируема в точке u, а функция u = u (x) дифференцируема в соответствующей точке x (u = u (x)). Тогда для сложной функции y = f (u (x)) справедливо равенство:
d y = f '(u)d u = y '(x)d x. Доказательство. Сложная функция y = f (u (x)) является дифференцируемой в точке x. Поэтому справедливо равенство:
d y = y '(x)d x. Но так как функция y (x) = f (u (x)) сложная, то
y ' (x) = f ' (u) × u ' (x). Поэтому d y = y '(x)d x = f '(u)× u '(x)d x = f '(u)×d u, так как по условию теоремы функция u = u (x) дифференцируема в точке x, следовательно, d u = u ' (x)×d x. Теорема доказана.
Производные и дифференциалы высших порядков Если функция y = f (x) дифференцируема на некотором промежутке, то она имеет на этом промежутке производную y ' = f ' (x), которая в свою очередь может иметь производную: (y ')' = (f '(x))' = y '', называемую второй производной функции y = f (x). Она обозначается: Может случиться, что новая функция y ''(x) имеет производную, тогда она называется третьей производной функции y = f (x) и обозначается:
Производная “ n ”-го порядка функции y = f (x) обозначается: Дифференциалом второго порядка функции y = f (x) в точке x называется выражение, обозначаемое d2 y и вычисляемое по формуле: , если x – независимая переменная. Дифференциал третьего порядка функции y = f (x): , если x – независимая переменная, и т.д. Замечание. Дифференциал уже второго порядка не обладает свойством инвариантности формы.
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ Теорема 1. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений, т.е. для любых x Î [ a; b ] выполняется неравенство: m ≤ f (x) ≤ M. Теорема 2. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то для любого числа С, удовлетворяющего неравенству m ≤ С ≤ M, на отрезке [ a; b ] найдётся хотя бы одна точка х 0, в которой выполняется равенство:
f (х 0) = С. Теорема 3. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и на концах этого отрезка имеет значения различных знаков, то существует хотя бы одна точка х 0 Î (a; b), в которой выполняется равенство: f (х 0) = 0. Теорема Ролля Теорема 4 (теорема Ролля). Если функция f (x) определена на отрезке [ a; b ] и выполнены следующие условия: · f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ]; · f (x) дифференцируема на интервале (a; b); · f (a) = f (b), то внутри этого отрезка [ a; b ] найдется хотя бы одна точка х 0, в которой выполняется равенство: f '(х 0) = 0. Доказательство. Так как f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений. Возможны два случая: m = M и m < M. · Если m = M, то f (x) = const = m = M. Тогда f '(x) = 0 при любом x Î [ a; b ]. Следовательно, в этом случае теорема верна и при этом в качестве х 0 можно рассматривать любое значение x Î [ a; b ]. · Если m < M, то исходя из условия f (a) = f (b), по крайней мере одно из чисел m или M не равно f (a) = f (b). Для определённости предположим, что M – наибольшее значение f (x) достигается не на концах отрезка [ a; b ], а в некоторой внутренней точке х 0 Î (a; b). Тогда в точке х 0 для приращения функции справедливо неравенство: D y = f (х 0 + D x) – f (х о) ≤ 0, так как f (х 0) = M – наибольшее значение f (x) на отрезке [ a; b ] и D x такое, что х 0 + D x Î [ a; b ]. · Если D x > 0, то и существует · Если D x < 0, то и существует Так как по условию теоремы функция f (x) дифференцируема при x Î (a; b), то в точке х о существует производная. Значит справедливы равенства: f ' (х 0 + 0) = f ' (х 0 – 0) = f ' (х 0) = 0. Теорема доказана.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-09; просмотров: 124; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.64.132 (0.006 с.) |