И интегральное исчисление функции

Дифференциальное

И интегральное исчисление функции

Одной переменной

 

 

Утверждено Редакционным советом

университета в качестве учебного пособия

 

 

Москва

2012

УДК 517 (075)

ББК 22.161.1

    Д50

 

Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева,       В. В. Осипчик

 

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического университета им. Д. И. Менделеева

Л. С. Гордеев

Кандидат физико-математических наук, доцент Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ)

С. А. Изотова

 

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной

Д50  переменной: учеб. пособие / Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло,

М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик; под ред. Е. Г. Рудаковской,  

М. Ф. Рушайло. М.: РХТУ им. Д. И. Менделеева,

2012. – 108 с.

ISBN 978-5-7237-0993-5

 

Пособие представляет сжатое изложение лекций по математическому анализу, читаемых кафедрой высшей математики.

Пособие охватывает следующие разделы курса математического анализа: дифференциальное исчисление функций одной переменной, интегральное исчисление функций одной переменной. Большое внимание уделено разбору примеров по изучаемым темам, имеющим прикладное значение для других дисциплин.

Предназначено для студентов I курса всех факультетов и колледжей РХТУ им. Д. И. Менделеева.

 

УДК 517 (075)

ББК 22.161.1

 

 

ISBN 978-5-7237-0993-5                   © Российский химико-технологический   

                                                                 университет им. Д. И. Менделеева, 2012

Оглавление

 

ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.. 3

§ 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 3

1. Определение функции одной переменной. 3

2. Способы задания функции. 3

3. Сложная и обратная функции. 3

4. Элементарные функции. 3

§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.. 3

1. Предел функции в конечной точке x ₀ 3

2. Односторонние пределы.. 3

3. Предел функции на бесконечности. 3

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 3

5. Основные теоремы о конечных пределах. 3

6. Первый замечательный предел. 3

7. Второй замечательный предел. 3

§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.. 3

1. Непрерывность функции в точке и на промежутке. 3

2. Точки разрыва функции и их классификация. 3

§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.. 3

1. Определение производной, её геометрический и механический смысл. …….3

2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций. 3

3. Таблица производных основных элементарных функций. 3

4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции. 3

5. Правила дифференцирования. 3

6. Дифференцирование функции, заданной неявно. 3

7. Производные показательной и степенной функций. 3

8. Производные обратных тригонометрических функций. 3

9. Дифференциал функции. 3

10. Производные и дифференциалы высших порядков. 3

§ 5. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ……...37

1. Теорема Ролля. 3

2. Теорема Лагранжа. 3

3. Теорема Коши. 3

4. Правило Лопиталя. 3

§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ.. 3

1. Асимптоты плоской кривой. 3

2. Монотонность функции. 3

3. Экстремумы функции. 3

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции. 3

5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 3

6. Схема исследования функции. Построение графика. 3

ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3

§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. 3

1. Первообразная функция и её свойства. 3

2. Понятие неопределённого интеграла. 3

3. Свойства неопределённого интеграла. 3

4. Таблица основных неопределённых интегралов. 3

§ 2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.. 3

1. Непосредственное интегрирование. 3

2. Интегрирование подстановкой. 3

3. Интегрирование по частям. 3

4. Интегрирование рациональных дробей. 3

5. Интегрирование тригонометрических выражений. 3

6. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений. 3

§ 3. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. 3

1. Задача, приводящая к определённому интегралу. 3

2. Свойства определённого интеграла. 3

3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница. …....3

4. Методы интегрирования определённого интеграла. 3

5. Приложения определённого интеграла. 3

§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.. 3

1. Интегралы с бесконечными пределами. 3

2. Интегралы от разрывных функций. 3

ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Сложная и обратная функции

Определение 1. Пусть функция y = f (U) определена на множестве D (f), а функция U = g (x) определена на D (g), причём E (g) D (f).

Тогда функция y = F (x) = f (g (x)) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g).

Определение 2. Пусть задана функция y = f (x) взаимно однозначно отображающая множество X = D (f) на множество Y = E (f).

Тогда функция x = g (y) называется обратной к функции y = f (x), т. е. любому y E (f) соответствует единственное значение x D (f), при котором верно равенство y = f (x).

Замечание. Графики функций y = f (x) и x = g (y) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x, а зависимую   y, то графики функций y = f (x) и y = g (x) будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

 

Элементарные функции

Основные элементарные функции:

y = const (постоянная функция), D (y) = R; E (y) = c.

(линейная функция), D (y) = R; E (y) = R.

y = (степенная функция), α Î R, E (y), D (y) зависят от α.

y =  (показательная функция), a > 0, a ≠ 1, D (y) = R, E (y) = (0;+∞).

y = (логарифмическая функция)), a > 0, a ≠ 1, D (y) = (0;+∞), E (y) = R.

Тригонометрические функции:

y = sin x, D (y) = R, E (y) = .

y = cos x, D (y) = R, E (y) = .

y = tg x, D (y) = , E (y) = R.

y = ctg x, D (y) = , E (y) = R.

Обратные тригонометрические функции:

y = arcsin x, D (y) = , E (y) = .

y = arccos x, D (y) = , E (y) = .

y = arctg x, D (y) = R, E (y) = .

y = arcctg x, D (y) = R, E (y) = .

Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.

Например: – элементарная функция.

 

Графики обратных тригонометрических функций: 

 

y = arcsin x Рис. 1	y = arccos x                     Рис. 2
y = arctg x Рис. 3	y = arcctg x Рис. 4

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

1. Предел функции в конечной точке x₀

Определение 1. Окрестностью точки x ₀называется любой интервал, содержащий точку x ₀:

.

Определение 2. d-Окрестностью точки x ₀называется интервал (; ), длина которого 2d, симметричный относительно x ₀:

Определение 3. Проколотой d-окрестностью точки x ₀ называется d-окрестность точки x ₀ без самой точки x ₀:

Определение 4. Число А называется пределом функции f (x) при x ® x ₀, если для любого малого числа ε > 0 существует такое малое число , что для любого x, принадлежащего D(f) и проколотой   δ-окрестности точки x ₀, т.е. , выполняется неравенство: .

Итак:  и .

Односторонние пределы

Определение 5. Число А называется правым (левым) пределом функции   y = f (x) в точке x ₀, если для любого малого числа ε > 0 найдётся другое малое число – такое, что для всех  и лежащих в правой (левой) окрестности точки x ₀, т.е. , справедливо неравенство: .

При этом используют следующие обозначения:

 – для правого предела.

– для левого предела.

Замечание 1. Если f (x) имеет в точке x ₀, предел равный А, то существуют и  и справедливо равенство:

.

Замечание 2. Если f (x) имеет в точке x ₀ правый  и левый  пределы, равные между собой, то в точке  функция f (x) имеет предел, равный числу:

.

Замечание 3. Если f (x) имеет в точке x ₀ правый  и левый  пределы, но они не равны между собой, то в точке x ₀ функция f (x) не имеет предела.

Первый замечательный предел

Теорема 6. Предел функции  в точке  существует  и  равен 1, т.е. .

Доказательство:

1) Пусть угол   x > 0 (x ). Площади  соотносятся:

                                                                        (1)

;  ; ,

где угол х в радианах.

Подставим в соотношение (1) полученные значения площадей:

,

,

Так как все части двойного неравенства положительные, выражение можно переписать так:

Так как  то по теореме 5:

.

2) Пусть x < 0 (x )

(по доказанному в первом случае). Следовательно,

.

Теорема доказана.

 

Второй замечательный предел

Теорема 7. Предел функции  при x существует и равен числу e, т.е.

.

Замечание. Число e является пределом последовательности , причем это число иррациональное, т.е. представляется бесконечной непериодической  десятичной дробью: e = 2,7182818284590…. Более того, число e трансцендентное, т.е. не является корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. В математическом анализе это число играет особую роль, в частности, является основанием натурального логарифма. Показательная функция с основанием e: , называется экспонентой.

 

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Примеры вывода производных некоторых элементарных функций

1)  

Вывод: ;

2) ;

Вывод: ;  

3)

Вывод: ;

(используется второй замечательный предел и свойства логарифма).

 

4)  

Вывод: так как ln x = log _e x, то, используя производную, для (log _a x), можно записать:

 .

5) (c)' = 0

Вывод: y = c, D y = y (x +D x) – y (x) = c – c = 0 .

Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил дифференцирования.

Таблица производных основных элементарных функций

1. (c)' = 0

2. (x ^a)' = a× x ^{a – 1}

3. (a^x)' = a^x ×ln a, (a > 0, a ≠ 1)

4. (e^x)' = e^x

5. (lo g_a x)' = , (a > 0; a ≠ 1)

6. (ln x)' =

7. (sin x)' =cos x

8. (cos x)' = – sin x

9. (tg x)' =

10. (ctg x)' = –

11. (arcsin x)' =

12. (arccos x)' = –

13. (arctg x)' =

14. (arcctg x)' =

Правила дифференцирования

Теорема 3. Если функции U (x) и V (x) дифференцируемы в точке x, то функция U (x) ± V (x) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(U (x) ± V (x))' =  (U (x))' ± (V (x))'.

Доказательство: Рассмотрим функцию y = U (x) ± V (x).

Тогда D y = D U ± D V. Разделим на D x и перейдём к пределу при D x ® 0:

так как по условию теоремы функции U (x) и V (x) дифференцируемы.

Значит, (U (x) ± V (x))' = U '(x) ± V '(x).

Теорема доказана.

Теорема 4. Если функции U (x) и V (x) дифференцируемы в точке х, то функция (U (x)× V (x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

(U (x) × V (x))' = (U (x))'× V (x) + U (x) × (V (x))'.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

D y = (U +D U)(V +D V) – U × V = U × V + U ×D V + V ×D U + D U ×D V – U × V =

= U ×D V + V ×D U + D U ×D V.

Разделим D y на D x и перейдем к пределу при D x ® 0:

так как по условию функции U (x) и V (x) дифференцируемы, а значит ,  и .

Следовательно,

(U (x)× V (x))' = U ' (x) × V (x) + U (x) × V ' (x).

Теорема доказана.

Следствия:

а) Если U (x), V (x) и W (x) дифференцируемы в точке х, то функция         (U (x)× V (x) × W (x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

 

(U × V × W)' = U '× V × W + U × V '× W + U × V × W '.

б) Производная     постоянной,    умноженной   на   дифференцируемую функцию, равна этой постоянной, умноженной на производную функции:

 

(C× U (x))' = C× U ' (x).

Теорема 5. Если функции U (x) и V (x) дифференцируемы в точке х и   V (x) ≠ 0, то функция  дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

Разделим D y на D x и перейдём к пределу при D x ® 0:

,

Значит,

.

Теорема доказана.

Теорема 6 (производная сложной функции). Если функция f (u) дифференцируема в точке u, а функция u (x) дифференцируема в точке x, причём u = u (x), тогда сложная функция f (u (x)) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(f (u (x)))'  = f '(u) × u ' (x).

Доказательство. Рассмотрим функцию y = f (u). Так как функция f (u) дифференцируема в точке u, то её приращение можно записать в виде:

,

где .

Разделим на D x и перейдём к пределу при D x ® 0:

 

Если D x ® 0, то D u ® 0, так как u (x) дифференцируема, а значит непрерывна, т.е.

 (f (u (x)))' = f ' (u) × u ' (x).

Теорема доказана.

Дифференциал функции

Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x, тогда её приращение можно записать в виде двух слагаемых, первое из которых линейно относительно D x, а второе слагаемое – бесконечно малая величина при  D x ® 0 (более высокого порядка малости по сравнению с D x):

 

,

где (D x) ® 0 при D x ® 0.

Определение 4. Слагаемое   называется главной линейной относительно D x частью приращения функции y = f (x), называемой дифференциалом этой функции. Дифференциал обозначается

 

d y = y ' (x)× D x.

Если x – независимая переменная, то справедливо равенство D x = d x, так как  (x)' = 1. Тогда формула для дифференциала записывается:

 

d y = y ' (x)× d x.

Так как второе слагаемое приращения функция – малая величина более высокого порядка малости по сравнению с D x, то между приращением функции и её дифференциалом можно приближённо поставить знак равенства. Это равенство тем точнее, чем меньше D x. На основе этого приближённого равенства получается приближённое представление значения дифференцируемой функции:

 

Пример. Вычислить приближённо

Решение. Рассмотрим функцию . В качестве начальной точки

возьмём x ₀ = 4, приращение D x = 0,08,  и подставим в формулу:

,

 где D << 0,08.

 

Теорема Ролля

Теорема 4 (теорема Ролля). Если функция f (x) определена на отрезке [ a; b ] и выполнены следующие условия:

· f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ];

· f (x) дифференцируема на интервале (a; b);

· f (a) = f (b),

то внутри этого отрезка [ a; b ] найдется хотя бы одна точка х ₀, в которой выполняется равенство:

f '(х ₀) = 0.

Доказательство. Так как f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений.

Возможны два случая:

m = M и m < M.

· Если m = M, то   f (x) = const = m = M. Тогда   f '(x) = 0 при любом   x Î [ a; b ]. Следовательно, в этом случае теорема верна и при этом в качестве х ₀ можно рассматривать любое значение x Î [ a; b ].

· Если m < M, то исходя из условия f (a) = f (b), по крайней мере одно из чисел m или M не равно f (a) = f (b). Для определённости предположим, что M – наибольшее значение f (x) достигается не на концах отрезка [ a; b ], а в некоторой внутренней точке х ₀ Î (a; b). Тогда в точке х ₀ для приращения функции справедливо неравенство: D y = f (х ₀ + D x) – f (х _о) ≤ 0, так как f (х ₀) = M – наибольшее значение f (x) на  отрезке [ a; b ] и D x такое, что   х ₀ + D x Î [ a; b ].

· Если D x > 0, то и существует

· Если D x < 0, то  и существует

Так как по условию теоремы функция f (x) дифференцируема при x Î (a; b), то в точке х _о  существует производная. Значит справедливы равенства:

f ' (х ₀ + 0) = f ' (х ₀ – 0) = f ' (х ₀) = 0.

Теорема доказана.

Теорема Лагранжа

Теорема 5 (теорема Лагранжа). Если функция f (x) определена на отрезке [ a; b ] и выполнены следующие условия:

· f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ],

· f (x) дифференцируема на интервале (a; b),

то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка х ₀, в которой выполняется равенство:

f ' (х ₀) = .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F (x) =   f (x) + l× x, где l = const. Потребуем, что бы для F (x) выполнялось условие F (a) = F (b).

Так как F (a) =   f (a) + l× a и F (b) =   f (b) + l× b, то получим равенство:

f (a) + l× a =   f (b) + l× b.

Отсюда выразим значение l:

l = – .

При этом значении l функция F (x) = f (x) – .

Функция F (x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

· F (x) непрерывна на отрезке [ a; b ]:

· F (x) дифференцируема на интервале (a; b)

· F (a) = F (b).

Следовательно, по теореме Ролля на интервале (a; b) существует хотя бы одна точка х ₀, в которой выполняется равенство:

F '(х ₀) = 0.

Найдём F '(x):

F '(x) = f '(x) – .

Поэтому F '(x ₀) = f '(х ₀) – = 0, если   f '(х ₀) = .

Теорема доказана.

Теорема Коши

Теорема 6 (теорема Коши). Если функции f (x) и g (x) определены на отрезке [ a; b ] и удовлетворяют условиям:

· f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [ a; b ];

· f (x) и g (x) дифференцируемы на интервале (a; b);

· g '(x) ¹ 0 при любом x Î (a; b),

то внутри отрезка [ a; b ] найдётся хотя бы одна точка х ₀, в которой выполняется равенство:

.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 5 (теорема Лагранжа) при вспомогательной функции

F (x) = f (x) + l × g (x),

где l = const, которую выбирают так, чтобы F (a) = F (b).

Правило Лопиталя

Теорема 7 (правило Лопиталя). Если функции f (x) и g (x) определены в некоторой окрестности точки х ₀ и в этой окрестности они удовлетворяют условиям:

· f (x) и g (x) дифференцируемы в каждой точке за исключением может быть самой точки х ₀;

· g '(x) ¹ 0 для любого x из этой окрестности;

·  или ,

тогда, если существует  конечный или бесконечный, то выполняется равенство:

= .

Замечание 1. Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределённостей типа  или , возникающих при вычислении пределов. Если под знаком предела оказывается неопределённость другого типа: 0×∞, , 1⁰, 0⁰ или ∞⁰, то с помощью тождественных алгебраических преобразований такая неопределённость приводится к  или  и тогда можно применить правило Лопиталя.

Замечание 2. Если к условиям теоремы 7 добавить дифференцируемость функций f '(x) и g '(x) в окрестности точки х ₀, то при выполнении остальных требований для f '(x) и g '(x) правило Лопиталя можно применить повторно. При этом будет справедливо равенство:

 

 =  =

Пример 1. Вычислить предел:

Пример 2. Вычислить предел:

Пример 3. Вычислить предел:

Пример 4. Вычислить предел:

.

Пример 5. Вычислить предел:

Пример 6. Вычислить предел:

 

Асимптоты плоской кривой

Определение 1. Если точка M (x; y) перемещается по кривой y = f (x) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к ¥ и при этом расстояние от этой точки до некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая называется асимптотой кривой y = f (x).

Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные.

Определение 2. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой кривой   y = f (x), если хотя бы один из односторонних пределов  или  равен +¥ или – ¥.

Замечание. Если прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой            y = f (x), то в точке x = a функция   f (x) имеет разрыв второго рода. Наоборот, если в точке x = a функция f (x) имеет разрыв второго рода, то прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой   y = f (x).

Определение 3. Прямая  называется наклонной асимптотой кривой  при  (или ), если функцию f (x) можно представить в виде:

,

где (x) – бесконечно малая функция при  (или ).

Теорема 1. Для того чтобы кривая y = f (x) имела наклонную асимптоту при  (или ) необходимо и достаточно существования двух конечных пределов:

  и

Доказательство. Ограничимся случаем .

Необходимость. Пусть y = kx + b – наклонная асимптота при  кривой       y = f (x). Тогда функцию   f (x) представим в виде:

 

, где  при .

Убедимся в существовании конечных пределов:

.

.

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть существуют конечные пределы  и .

Тогда по свойству конечных пределов второй предел можно переписать в виде:

, 

где (x) – бесконечно малая  величина при .

Отсюда получаем:

,

где  при .

Достаточность доказана.

Пример 1. Найти асимптоты кривой .

Решение.

1) D (y) = (–¥;–1) È (–1;1) È (1;+ ¥).

2) Точки x = –1 и x = 1 являются точками разрыва второго рода, так как:

 

 

Поэтому прямые x = –1 и x = 1 являются вертикальными асимптотами.

3) Вычислим пределы:

, k = 1.

Отсюда следует, что при  прямая y = 1× x +0, т.е.   y = x – наклонная асимптота при .

Найдём наклонную асимптоту при .

Вычисляя те же пределы при , получим k = 1 и b = 0, т.е. прямая   y = x является наклонной асимптотой при .

Ответ: x = ± 1 – вертикальные асимптоты

    y = x – наклонная асимптота при x ® ±¥.

Монотонность функции

Определение 4. Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке (a; b), если для любых x ₁ и x ₂, принадлежащих этому промежутку, из условия x ₂  > x ₁ следует неравенство:

 

f (x ₂) > f (x ₁)   (f (x ₂) < f (x ₁)).

 

Определение 5. Функция y = f (x) называется монотонной на промежутке (a; b), если она на этом промежутке является только возрастающей или только убывающей.

Теорема 2 (достаточные условия монотонности). Если функция y = f (x) дифференцируема на промежутке (a; b) и f ’ (x) > 0 (f ’ (x) < 0) для любых x Î (a; b), то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Возьмём любые два значения x ₁ и x ₂ из промежутка (a; b). Для определённости предположим, что x ₂ > x ₁.

На отрезке [ x ₁; x ₂] функция y = f (x) непрерывна и дифференцируема (из условия теоремы). Следовательно, она удовлетворяет теореме Лагранжа на отрезке     [ x ₁; x ₂], т.е. существует хотя бы одна точка c Î (x ₁; x ₂), в которой выполняется равенство:

f (x ₂) – f (x ₁) = f ' (c) × (x ₂ – x ₁).

Если f '(x) > 0 для любых x Î(a; b), то f '(c) > 0. Поэтому f (x ₂) – f (x ₁) > 0, т.е. из условия x ₂ > x ₁ следует неравенство f (x ₂) > f (x ₁). А так как x ₁ и x ₂  –любые значения из промежутка (a; b), то функция y = f (x) возрастает на этом промежутке.

Если  для любых , то . Поэтому , то есть из условия x ₂ > x ₁ следует неравенство   f (x ₂) < f (x ₁). Так как x ₁ и x ₂ любые значения из промежутка (a; b), то функция   y = f (x) убывает на этом промежутке.

Теорема доказана.

Экстремумы функции