Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференцирование функции, заданной неявно
Пусть функция задана неявно уравнением . Дифференцируя это равенство по x по правилу дифференцирования сложной функции, находим из полученного равенства y '. Пример. Найти y ', если функция y задана уравнением: x 3 + y 3 – xy = 0 Решение. 3 x 2 + 3 y 2 × y ’ – y – xy ’ = 0 y’(3y2 – x) = y – 3x2
Ответ: . Производные показательной и степенной функций Теорема 7. Степенная функция y = x a (aÎR) дифференцируема при любом x ÎR и справедлива формула: (x a)' = a × x a – 1. Доказательство. Прологарифмируем равенство y = x a, предполагая x > 0: ln y = a× ln x Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = x a неявно. Найдём производные от обеих частей равенства: Выразим отсюда y ': Подставим в полученное равенство y = x a: Теорема доказана. Теорема 8. Показательная функция y = ax (a > 0, a ≠ 1) дифференцируема при любом x ÎR и справедлива формула: (ax)' = ax × ln a Доказательство. Прологарифмируем равенство y = ax: ln y = x ln a. Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = ax неявно. Найдём производные от обеих частей равенства: Выразим отсюда y ': y ' = y × ln a. Подставим в полученное равенство y = ax : (ax)' = ax × ln a Теорема доказана. Замечание. В частном случае, при a = e полученная формула в теореме 8 принимает вид: (ex)' = ex × ln e или (ex)' = ex. Теорема 9. Если функции U (x) и V (x) дифференцируемы в точке x, то показательно-степенная функция y = (U (x)) V ( x ) дифференцируема в точке x и справедлива формула: . Доказательство можно выполнить с помощью логарифмирования равенства y = (U (x)) V ( x ) по основанию логарифма e и дальнейшего дифференцирования обеих частей полученного равенства.
Производные обратных тригонометрических функций Теорема 10. Функция y = arcsin x дифференцируема при любом x Î(–1;1) и справедлива формула: Доказательство: Функция y = arcsin x определена при x Î[–1;1] и область ее значений . Она монотонно возрастает на всей области её определения, поэтому имеет обратную функцию x = sin y. Уравнение x = sin y можно рассматривать как неявное задание функции y = arcsin x. Найдём производную от обеих частей уравнения: . Выразим из полученного равенства y ': . Но при . Поэтому , так как . Следовательно, получаем: . Теорема 11. Функция y = arсcos x дифференцируема при x Î(–1;1) и справедлива формула:
. Теорема 12. Функция y = arctg x дифференцируема при x Î(–¥;+¥) и справедлива формула: . Теорема 13. Функция y = arcсtg x дифференцируема при x Î(–¥;+¥) и справедлива формула: . Теоремы 11, 12, и 13 доказываются аналогично теореме 10.
Дифференциал функции Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x, тогда её приращение можно записать в виде двух слагаемых, первое из которых линейно относительно D x, а второе слагаемое – бесконечно малая величина при D x ® 0 (более высокого порядка малости по сравнению с D x):
, где (D x) ® 0 при D x ® 0. Определение 4. Слагаемое называется главной линейной относительно D x частью приращения функции y = f (x), называемой дифференциалом этой функции. Дифференциал обозначается
d y = y ' (x)× D x. Если x – независимая переменная, то справедливо равенство D x = d x, так как (x)' = 1. Тогда формула для дифференциала записывается:
d y = y ' (x)× d x. Так как второе слагаемое приращения функция – малая величина более высокого порядка малости по сравнению с D x, то между приращением функции и её дифференциалом можно приближённо поставить знак равенства. Это равенство тем точнее, чем меньше D x. На основе этого приближённого равенства получается приближённое представление значения дифференцируемой функции:
Пример. Вычислить приближённо Решение. Рассмотрим функцию . В качестве начальной точки возьмём x 0 = 4, приращение D x = 0,08, и подставим в формулу: , где D << 0,08.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-09; просмотров: 164; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.19.211.134 (0.008 с.) |