Уравнение сохранения заряда. Первое правило Кирхгофа

В основе решения задачи лежит уравнение сохранения заряда. Заряд не накапливается в участках электрической цепи, поэтому сумма токов, втекающих в каждый узел, равна нулю (первое правило Кирхгофа)

.                                                 (12.4)

Например, для узла 1

;

;

;

,                             (12.5)

где .

Мы получили уравнение (12.5), в котором несколько неизвестных – потенциал узла 1 и смежных с ним узлов 2, 3, 4 и 5. Это - уравнение постоянства заряда в узле 1. Такое уравнение можно записать для каждого узла, поэтому число уравнений равно общему количеству неизвестных. Вместе они образуют систему линейных уравнений:

,                        (12.6)

которая в сокращенной (тензорной) форме записи выглядит как

,                                  (12.7)

где - вектор неизвестных потенциалов в узлах,  - матрица системы уравнений, - порядок матрицы (число неизвестных и уравнений в системе). При тензорной записи пропускают знак суммы. На то, что в выражении (12.7) записан не одночлен, а сумма одночленов, указывает «слепой» - повторяющийся два раза индекс k, по которому и производят суммирование.

Мы проследили всю типичную процедуру метода конечных элементов от вывода исходных уравнений на основе некоторого дифференциального уравнения до сведения их в систему линейных уравнений. Далее необходимо решить систему и найти неизвестные, а по ним – все остальные параметры модели.

В данном случае исходное дифференциальное уравнение сохранения заряда – это уравнение Лапласа (12.2). Его можно превратить в систему алгебраических уравнений, если вместо производных подставить отношение конечных разностей:

.

Можно сказать, что каждое уравнение в системе (12.6) – это проинтегрированное по некоторой области (по одной ячейке) дифференциальное уравнение (12.2).

При интегрировании появляются неопределенные константы, которые нужно установить из граничных условий для получения окончательного решения. Граничными условиями являются значения функции в соседних узлах. Смысл системы уравнений заключается в стыковке между собой полученных интегралов по всем ячейкам.

Свойства системы уравнений

Матрица традиционно называется матрицей жесткости (потому что МКЭ создавали для задач механики), но в данном случае это матрица проводимости . Эта матрица симметричная:

.

В каждой строке данной матрицы самый большой коэффициент находится на главной диагонали, и он положителен. Остальные коэффициенты отрицательны и меньше по абсолютной величине. Сумма коэффициентов в каждой строке равна нулю.

Действительно, если потенциалы смежных ячеек равны

,                                               (12.8)

то все токи будут равны нулю. Подставим (12.8) в уравнение (12.5)

,

откуда

,

.

Таким образом, матрица является положительно определенной. Это обеспечивает устойчивость решения системы методом Гаусса.

Матрица разреженная, в ней много нулевых коэффициентов:  только если узлы  и - смежные. Если удачно пронумеровать узлы, то ненулевые элементы соберутся в ленту около главной диагонали (получим ленточную матрицу). Остальные элементы можно не хранить, т. е. экономить память компьютера. Кроме того, вследствие симметрии матрицы достаточно хранить только половину ленты.

Очень важным моментом является однородность системы уравнений (в правой части - нули). Это значит, что она всегда имеет решение . Кроме того, мы установили, что  также будет решением при любом . Такие решения называются тривиальными.

Возможно, система имеет также нетривиальное решение с разными в разных узлах. В любом случае ясно, что у нее бесчисленное множество решений. Чтобы получить единственное решение, необходимо задать граничные условия 1-го рода – значение неизвестного хотя бы в одном узле . Для этого нужно исключить из системы одно уравнение (поскольку значение в одном из узлов известно) или заменить его (что то же самое) на  (см. рис. 12.2). После этой процедуры система перестает быть однородной (в остальных уравнениях появится правая часть ). Если других условий нет, то решение системы уравнений даст во всех узлах одинаковый потенциал .

Если в другом узле задать, что , получим разные потенциалы во всех узлах.

Условием 2-го рода является подача тока от внешнего источника в какой-то из узлов. Этот ток добавляется к правой части соответствующего уравнения.