Расчет допустимого шага решения для явной схемы

Поток тепла в точку  из соседней точки  можно найти по уравнению Фурье (см. формулу 12.16):

.                                        (12.23)

Суммарное поступление теплоты от соседних точек через границы (рис. 12.10) за шаг решения :

.                                    (12.24)

Рис. 12.10. Схема расчета шага решения по явной схеме

 

Можно найти такую , при которой поступление теплоты было бы равно нулю, из условия :        

;

.

Такая температура появится в ячейке массой  через время

;

;

;

;

.                                     (12.25)

Если элемент – параллелепипед, то ; для изотропного материала ; коэффициент температуропроводности . Получаем

Самый важный размер ячейки – самый маленький, от него зависит допустимый шаг решения для всей модели.

 

Метод элементарных балансов

В литературе по численным методам расчета тепловых процессов существует понятие «модель из теплоемких масс и теплопроводящих стержней». Речь идет именно о тех принципах, которые реализованы в программном комплексе «Сварка». Ту электрическую схему, которой мы заменяли деталь из электропроводного материала, можно назвать «моделью из электропроводящих стержней».

Каждый элемент (граница ячеек = электропроводящий стержень) соединяет две ячейки (два узла). Нашу тепловую модель можно представить такими эквивалентными схемами (рис. 12.11).

Рис. 12.11. Схемы моделей для задач энергомассопереноса: из конденсаторов и сопротивлений (а); из масс и стержней (б):   R - сопротивление, C - электроемкость конденсатора, - теплопроводность, - теплоемкость

 

Суть метода элементарных балансов состоит в том, что две соседние ячейки обмениваются теплотой через границу, причем сколько теплоты уходит из одной ячейки, столько же приходит в другую. Важной особенностью метода является его консервативность, т. е. точное соблюдение закона сохранения энергии. Отличием задач электропроводности и теплопроводности является сочетание свойств. Теплоемкость материала является существенной (это на схеме подчеркнуто добавлением конденсаторов в каждом ее узле), а теплопроводность относительно невысокой, поэтому переходные процессы выравнивания температур занимают продолжительное время, и их необходимо моделировать. При моделировании переходных процессов может быть рациональным применение явной схемы.

 

Неявная схема решения

В некоторых случаях мелкая сетка элементов не связана с большими градиентами температуры и высокой скоростью переходных тепловых процессов. Тогда переход на неявную схему позволяет существенно увеличить шаг решения без потери точности и сократить машинное время решения задачи. Каждый шаг по неявной схеме требует существенно больших вычислительных затрат, поэтому переход на нее может быть оправдан при укрупнении шага решения не менее, чем на порядок.

Согласно (2.24), в каждой внутренней ячейке

,                 (12.26)

где N – количество границ ячейки. В этом выражении, в отличие от (12.24), потоки тепла записаны не для начала, а для конца текущего шага решения. Если ячейка имеет наружные границы с условиями 2 и 3 рода, то добавляются потоки тепла через эти границы:

. (12.27)

Получаем систему уравнений относительно неизвестных температур конца шага

.                                  (12.28)

Диагональные коэффициенты матрицы проводимости

;         (12.29)

внедиагональные коэффициенты матрицы

;                           (12.30)

Правая часть – вектор поступившей теплоты

.         (12.31)

Узлы, в которых заданы граничные условия 1 рода  необходимо исключить из системы уравнений (температуры в них уже известны). Одно из уравнений, с диагональным коэффициентом матрицы  полностью исключается из системы (заменяется на ). В остальных уравнениях из матрицы исключается столбец с коэффициентами , соответствующими узлу с температурой . Взамен него в правой части каждого из остальных уравнений появляется добавка . Таким образом, с учетом всех граничных условий, в правой части имеем:

.         (12.32)

Поскольку свойства материала определяются для температуры начала шага, большие изменения температуры за шаг могут вызывать погрешности при нелинейности свойств. В этом случае требуется итерационная процедура для уточнения полученного решения.