Методы моделирования физических процессов при сварке

Рассмотрим методы моделирования физических процессов на примере задачи о протекании тока в проводнике, форма и размеры которого заданы (в свариваемой детали). К нескольким парам точек проводника подведено напряжение от источника тока (потенциал этих точек известен). По проводнику течет ток, плотность которого различна в разных точках вследствие сложной формы проводника и разного удельного сопротивления. Требуется определить плотность тока (его значение и направление), а также электрический потенциал в заданных точках на поверхности и в толще металла.

В простейшем случае (длинный ровный стержень из однородного металла) эта задача решается легко, но в реальных случаях получения сварных соединений методами дуговой или контактной сварки она чаще всего не имеет аналитического решения.

Математическое описание процесса сводится к составлению дифференциального или интегрального уравнения. Для задачи о протекании тока дифференциальное уравнение может быть выведено из условия постоянства заряда в элементарном объеме металла. Это условие нарушается во время переходных процессов при замыкании и обрыве цепи, но может быть использовано при равновесном, установившемся, медленно изменяющемся протекании тока. Чтобы заряд в объеме элементарного параллелепипеда   (рис. 12.1) не изменялся, сумма токов, направленных внутрь этого параллелепипеда через все его границы, должна быть равна нулю.

Согласно закону Ома в дифференциальной форме, плотность тока j прямо пропорциональна напряженности E электрического поля, т. е. градиенту потенциала U:

,                                    (12.1)

где ρ –удельное сопротивление вещества, n – нормаль к поверхности, через которую проходит ток. Знак минус означает, что ток течет в направлении убывания потенциала.

Рис. 12.1. Протекание тока в направлении оси x

Сила тока равна произведению плотности тока на площадь поверхности, через которую он протекает. Суммарный заряд, попадающий за единицу времени в элементарный параллелепипед dV через две его грани, перпендикулярные оси x,прямопропорционален разности сил токов, протекающих через левую и правую грани (см. рис. 12.1):

.

Если сила тока I _X1, втекающего через левую грань, больше, чем сила тока I _X2, вытекающего через правую, то в объеме происходит накопление заряда. Суммируя накопление заряда по трем осям (через все 6 граней элементарного параллелепипеда), получаем уравнение постоянства заряда (первое правило Кирхгофа)

,

которое приводит к уравнению Лапласа

                              (12.2)

для потенциала произвольной внутренней точки. Его необходимо проинтегрировать по всему объему проводника с учетом граничных условий, и эту задачу при сложной форме проводника не удается решить аналитически, особенно если она нелинейна (если удельное сопротивление неодинаково в разных точках тела, тем более если оно зависит от плотности тока, т. е. от результатов решения задачи).