Тема . Тела и поверхности вращения.

Название практической работы

«Тела и поверхности вращения. Решение задач»

Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о телах вращения; совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей тел вращения.

Контрольные вопросы.

1. Конус. Площадь полной и боковой поверхности.

2. Цилиндр. Площадь полной и боковой поверхности.

 

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 3 см. Найдите площадь поверхности цилиндра.

A

B

C

D

О1

О

       

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле: S_полн = 2π r (r + h). Для нахождения S_полн необходимо знать радиус и высоту цилиндра. 

Рассмотрим треугольник АВD – прямоугольны й: угол ABD = 90⁰, АD = см. Найдем катеты AB и BD.

Так как ABCD – квадрат, следовательно AB = BD. Обозначим AB = x.

По теореме Пифагора получим: AD² = AB² + BD² = x² + x² = 2x². Таким образом, .

AB = BD = 3 см.

AB = h = 3см, BO₁ = r = ½ BD = 1.5 см.

дм.

Ответ: S_полн = 13,5 см².

Пример 2. Около конуса, высота которого равна см и радиус основания 10 см, описана пирамида. Основанием пирамиды является ромб с острым углом 30°. Найдите угол наклона образующей конуса к плоскости основания, площадь осевого сечения конуса, площадь полной поверхности конуса, площадь полной поверхности пирамиды.

Решение.

1. Найдем площадь полной поверхности конуса по формуле S=ΠR(R + l).

R = 10 см. Необходимо найти образующую конуса l = MN.

Рассмотрим ∆ MON – прямоугольный: MO = см, NO = 10 см. По теореме Пифагора получим, MN² = MO² + ON² = ()² + 10² = 300 + 100 = 400, следовательно, MN = 20 см. Тогда S_полн = 10 Π (10 + 20) = 300П см².

1. Найдем угол наклона образующей конуса к плоскости основания - . Для этого рассмотрим ∆ MON – прямоугольный:
2. Найдем площадь осевого сечения конуса – площадь ∆ MNH: S_∆MNH = ½ NH MO = ½ 20 ∙  =  см².
3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды: S_полн = S_осн + 4S_AMB.

1) В основании пирамиды лежит ромб. Найдем площадь ромба. Для этого рассмотрим ∆ ADB: = 30⁰. AD = AB = 2R = 20 см.

2) S_∆ADB =½ AD∙AB∙Sin = ½ 20 ∙ 20 ∙ sin30⁰ = 200∙1/2 = 100 см².

3) S_ABCD = 2 S_∆ADB = 200 см².

4) S_∆AMB = ½ AB∙MN = ½ 20∙20 = 200 см².

5) S_полн = S_осн + 4S_AMB = 200 + 4∙200 = 1000 см².

Ответ: = 60⁰, S_сеч =  см², S_{полн кон} = 300П см², S_{полн пир} = 1000 см².

Выполнить следующие задания.

Задача 1.

В цилиндре проведена параллельно оси плоскость, отсекающая от окружности дугу в 120º. Длина оси равна 5, ее расстояние от секущей плоскости 2. Определите площадь сечения, объем и площадь полной поверхности цилиндра.

Задача 2.

Радиус основания конуса равен 20 см, образующая – 20,5 см. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии 1,5 см от его вершины. Найдите радиус полученного сечения, объем и площадь полной поверхности конуса.

Задача 3. Прямоугольный параллелепипед со сторонами 6 дм и 8 дм и высотой, равной 14 дм, вписан в цилиндр. Найдите радиус основания цилиндра, площадь осевого сечения цилиндра, площадь полной поверхности цилиндра и параллелепипеда.

Задача 4. Треугольник АВС со сторонами АВ = 41 см, АС = 15 см и ВС = 52 см вращается вокруг прямой, содержащей его большую сторону. Найдите высоты конусов, из которых составлено тело вращения, площадь осевого сечения и площадь полной поверхности тела вращения.

Задача 5. Тело получено при вращении ромба со стороной 18 см и углом 60° вокруг стороны. Найдите расстояние от его образующей до оси вращения, высоты получившихся конуса и цилиндра, площадь полной поверхности тела вращения.

Геометрия