Начала математического анализа

Тема. Производная.

Название практической работы

«Исследование функции с помощью производной»

Цель занятия: Закрепить и обобщить умения и навыкиисследования функций и построения графиков с помощью производной.

Контрольные вопросы.

1. Определение точки минимума и точки максимума.

2. Определение критической точки.

3. Необходимое условие, чтобы точка х₀ была точкой экстремума.

4. Алгоритм нахождения критических точек функции.

5. Определение стационарных точек.

6. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума функции).

7. Достаточные условия существования экстремума функции.

8. Достаточный признак возрастания, убывания функции.

9. Алгоритм нахождения экстремумов функции.

10. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

11. Выпуклость функции. Точки перегиба.

Примеры выполнения заданий.

Задание. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение.

1) Область определения – множество действительных чисел.

2) Точки пересечения с осями координат:

если x = 0, то y = 0 – точка А (0,0);

если y = 0, то решим уравнение .

    и

                                                                 

                                                                                 

                                                                                      и

Получили еще две точки В (; 0) и С (; 0).

3) Четность, нечетность:  - функция не является ни четной, ни нечетной.

4) Находим производную. .

5) Стационарные точки. Приравняем производную к нулю: , получим    x = -1, x = 0, x= 2 – стационарные точки.

6)

- 1               0                 2

Промежутки возрастания и убывания. Найденные точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка, определим знак производной на этих промежутках.

7) Точки экстремума. x = -1, x = 2 – точки минимума; x = 0 – точка максимума.

8) Выпуклость и точки перегиба.

Найдем вторую производную: .

Найдем точки перегиба: ;

 

и  - точки перегиба

≈ - 0,5             ≈ 1,2

Определим знак второй производной на интервалах:

9) Составим таблицу.

x	x < -1	- 1	– 1 < x < 0	0	0 < x < 2	2	x > 2	3
f ‘(x)	-	0	+	0	-	0	+
f(x)		-5/12 min		0 max		-8/3 min		9/4

 

Выполнить следующие задания.

Задание 1. Исследовать функцию и построить ее график.

а)                                 б)

Задание 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанном промежутке

а) у = (х-3)²(х-2) на отрезке [1;4]

б) у =1/3 х³ + х² на отрезке [-4;1]

в) у = - 2/3 х³ + 2х – 4/3 на отрезке [-1,5;1,5]

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Тема. Первообразная и интеграл.

Название практической работы

«Решение задач на нахождение интеграла. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интеграла»

Цель занятия: Закрепить и обобщить умения и навыкивычисления определенного интеграла методом непосредственного интегрирования и нахождения площади фигуры, ограниченной линиями.

Контрольные вопросы.

1. Понятие первообразной функции.

2. Основные правила нахождения первообразной функции.

3. Неопределенный интеграл и его свойства.

4. Определенный интеграл и его свойства.

5. Формула Ньютона-Лейбница.

Примеры выполнения заданий.

При непосредственном интегрировании следует пользоваться таблицей интегралов. Интегрируя функции, содержащие переменную в знаменателе дроби или под знаком радикала, нужно вводить степень с отрицательным или дробным показателем.

Пример 1.

Решение

Пример 2.

Решение

Для вычисления значения определенного интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница. Берем неопределенный интеграл и находим любую первообразную, затем вычисляем разность ее значений, соответствующих верхнему и нижнему пределов.

Пример 3.

Решение

Пример 4.

Решение

y

x

x = -3

x = 2

А(0; 2)

B(4; 0)

S

Рис. 1

 Пример 5. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями                y = -0,5 x + 2, y = 0, x = -3 и x = 2.

Решение. Выполним построение фигуры. Строим прямую                 y = - 0,5 x + 2 по двум точкам. Найдем эти точки. Пусть x = 0, тогда y = 2. Получили первую точку А(0; 2). Пусть y = 0, тогда x = 4. Получили вторую точку В(4; 0).

Т.о. f(x) = -0,5 x + 2, а = -3, b = 2, находим площадь по формуле :

Ответ: S = 11, 25 (кв. ед.)

Пример 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями          и   

Решение

Для нахождения пределов интегрирования решаем уравнение:

                                          

 

Искомая площадь равна:

 

Выполнить следующие задания.

Задание 1. Найти неопределенный интеграл.

а)                       б)                                                                                                                                   

в)                         г)                                       д)                                                                                             

Задание 2. Вычислить определенный интеграл.

а)                              б)                                                                                                                                                 в)         г)                 д)                                                                                                                       

Задание 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой: у = 4 – х².

б) Найти площадь фигуры, ограниченной параболами

Геометрия