Выполнение практической работы.

Задание 1.Построить изображение тетраэдра A₀ B₀ C₀ D₀ и его высоты с помощью параллельного проецирования.

Гранями тетраэдра являются треугольники. Спроектируйте основание тетраэдра в произвольный треугольник.

Спроектируйте вершину тетраэдра в том же направлении в произвольную точку плоскости ɑ.

Соедините эту точку с вершинами треугольника. Полученный четырехугольник и является изображением тетраэдра.

Для изображения высоты тетраэдра, используйте свойство 2 параллельного проецирования (проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок, в зависимости от того лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, или нет. Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на прямой, не параллельной и не совпадающей с прямой l. В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка).

Задание 2. Построить изображение прямоугольного параллелепипеда A₀ B₀ C₀ D₀ E₀ F₀ G₀ H₀ с помощью параллельного проецирования.

 Выберем три ребра прямоугольного параллелепипеда исходящие из одной вершины и изобразим их в виде трех произвольных отрезков, исходящих из одной точки.

Все остальные ребра параллелепипеда изображаются следующим образом: каждый из них параллелен одному из построенных отрезков и равен ему по длине.

Задание 3. Построить изображение пирамиды S₀ A₀ B₀ C₀ D₀ и ее высоты, в основании которой лежит прямоугольник с помощью параллельного проецирования.

Изображение основание пирамиды строят по правилам построения плоских фигур.

За изображение вершины можно взять любую точку, не принадлежащую сторонам изображения основания.

Задание 4. Построить изображение прямой призмы, в основании которой лежит равнобедренная трапеция.

Какова бы ни была форма призмы, изобразим ее основание по правилу построения трапеции и согласно свойствам проектирования.

Одно из боковых ребер изобразим произвольно: любым по длине и направлению отрезком.

Все остальные ребра изображаются параллельными и равными по длине построенному ранее.

Задание 5. Все ребра тетраэдра ABCD имеют равные длины, К – середина ребра BD.

1. Постройте две прямые KM и KN, перпендикулярные соответственно AD и DC и пересекающие их соответственно в точках M и N.

2. Построй те точку пересечения плоскости KMN с прямой, соединяющей вершину D и точку пересечения медиан противолежащей грани.

Геометрия

Тема. Многогранники.

Название практической работы

«Многогранники. Решение задач»

Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о выпуклых многогранниках, совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей многогранников.

Контрольные вопросы.

1. Понятие многогранника, выпуклого многогранника.

2. Призма. Элементы призмы. Свойства призмы.

3. Параллелепипед. Свойства параллелепипеда. Куб.

4. Пирамида. Элементы пирамиды. Свойства пирамиды.

 

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна дм, а диагональ боковой грани равна дм. Найдите диагональ данной призмы и площадь боковой поверхности.

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

Решение. В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат. Необходимо найти диагональ призмы BD₁.

1. Рассмотрим треугольник BD₁D: угол D₁DB = 90⁰, BD = дм. Чтобы найти BD₁, необходимо знать сторону треугольника D₁D.

2. Рассмотрим треугольник AB₁B: угол B₁BA = 90⁰, AB₁ = дм, B₁B = D₁D. Для того чтобы найти B₁B, необходимо знать сторону треугольника AB.

3. Рассмотрим треугольник ABD: угол BAD = 90⁰, AB = AD (так как ABCD – квадрат). Следовательно, получим BD² = AB² + AD² = 2AB². Таким образом,

()² = 2AB², 18 = 2AB², AB² = 9, AB = 3 дм.

4. Из треугольника AB₁B: BB₁² = AB₁² – AB² = ()² – 3² = 32 – 9 = 23, BB₁ = дм.

5. B₁B = D₁D = дм.

6. Из треугольника BD₁D: BD₁² = BD² + DD₁² = ()² + ()² = 18+23 = 41, BD₁ = дм.

7. дм.

Ответ: BD₁ = дм, S_бок = 12 дм.

Пример 2. В правильной треугольной пирамиде высота равна 10 см, а сторона основания 16 см. Найти площадь боковой поверхности.

Решение.

Поскольку основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, то AO является радиусом описанной вокруг основания окружности. (Это следует из свойств правильной пирамиды).

1)  Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, найдем из его свойств:

2) Рассмотрим треугольник MOA – прямоугольный: MO = 10 см, AO = . По т. Пифагора получим

MA =

3) Рассмотрим треугольник MBК – прямоугольный: MB = MA = , BK = ½ BC = 8 см. По т. Пифагора получим .

4) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле .

Ответ:

Выполнить следующие задания.

Задача 1.

Основанием прямой призмы служит ромб; диагонали призмы равны 20 и 18 дм; высота призмы 16 дм. Найти сторону основания призмы.

Задача 2.

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 и 16 см, а боковые ребра равны см. Найдите высоту пирамиды.

Задача 3.

Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 5 и 3 см и углом 120 градусов между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2, найти площадь боковой поверхности.

Задача 4.

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды.

 

Геометрия