П. 5. Деление отрезка в данном отношении

 

Даны две точки и . Известно, что некая точка  делит отрезок [ М ₁ М ₂] в отношении λ:  или, что тоже самое . 

                                           Найдем координаты точки М.

                                           Обозначим , ,

                                           .

                                            Разложим векторы по базису векторов :

                                           , , .

                                            Имеем по правилу треугольника, что:

                                            ,      (*) 

Из равенства  выразим вектор : .

Подставим в данное равенство оба равенства (*). Имеем: . Отсюда . Выразим вектор : .

Приравнивая проекции обеих частей на x, y, z, получим:

, ,   – координаты точки М.

Если точка М делит отрезок [ М ₁ М ₂] пополам, то есть λ = 1, то координаты точки М находятся по формулам:        

, , .

Пример. Найти координаты точки М, которая делит отрезок [ М ₁ М ₂], где ,  в отношении 2 к 3.

Решение.

Дано: . Тогда: , , . Ответ: .

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

= .                        (1)

Из формулы (1) следует, что                  

                                                                                          (2)

Механический смысл скалярного произведения

Скалярное произведение силы  на вектор  равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору : .                                                                          (4)

Свойства скалярного произведения

1.

2. Скалярный квадрат равен квадрату модуля:  

3. Если  – действительное число, то

4.

5.    

6. Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному проекцию второго вектора на первый, т.е.:                                                                                                                     

7. Если , то угол между  и  – острый, если , то угол между  и  – тупой. И наоборот.

Таблица скалярного умножения ортов

             Углы , , , , ,

             ; тогда ; длины ортов равны .

                 Пользуясь определением скалярного произведения, составим таблицу скалярного произведения векторов :

	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

         

 

Скалярное произведение векторов, заданных своими декартовыми координатами

 Два вектора  и  заданы своими декартовыми координатами. Разложим их по ортам : , .

Найдем скалярное произведение данных векторов:

(воспользуемся таблицей скалярного умножения ортов) = .

Скалярное произведение двух векторов, заданных своими декартовыми координатами, равно сумме произведений соответствующих координат:

                                                                                                           (5)

Отсюда, косинус угла между векторами, заданными своими декартовыми координатами, равен:

                                                                      (6)

 

Примеры.

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов  и , если известно, что .   

Решение.

–84.

Пример 2. Даны вершины треугольника АВС, где А (–1, –2, 4), В (–4, –2, 0), С (3, –2, 1). Определить его внутренний угол α при вершине В.

Решение.

Угол при вершине В образуют векторы  и , , . Длины векторов равны , тогда по формуле (6): = , то есть α = 45⁰.

Пример 3. Проверить перпендикулярность векторов  и .

Решение. . Найдем , то есть векторы не перпендикулярны.