П.2 Линейные операции над векторами.

1. Сложение векторов. Даны два вектора

 

а) Правило треугольника:  +  = .

 

  б) Правило параллелограмма: вектор  направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах  и .

 

в) Для сложения трех векторов в пространстве существует правило параллелепипеда:         +  + = .

Вычитание векторов.

Определение 10. Противоположным вектором к вектору  называется вектор , причем .

Вычесть вектор, значит прибавить противоположный.

 

а) Правило параллелограмма.

 

 

б) Правило треугольника  

 

Вывод из 1 и 2: векторы суммы и разности векторов направлены по диагоналям параллелограмма, построенного на векторах  и .

 

Умножение вектора на скаляр.

Определение 11. Пусть λ – действительное число, тогда произведением числа λ на вектор  называется вектор  такой, что 1)  2) , если  и , если .

, причем .

 

Свойства операций над векторами  

 

1.  + = +   

2.  + +  = (  + )+ =  + ( + )

3.  + =

4.  

5. , 1 – число,  

6. , α и β – числа.

7. λ (  + ) = λ  + λ   

8.       

Определение 12. Множество L называется линейным векторным пространством, а его элементы – векторами, если в нем заданы операции сложения векторов, умножения вектора на число и выполняются свойства 1-8.

Определение 13. Выражение вида  называется линейной комбинацией векторов  c коэффициентами .

Определение 14. Система векторов  называется линейно зависимой, если существуют числа  такие, что хотя бы одно из них отлично от 0 и .

В противном случае она называется линейно независимой.

Замечание 1. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы  коллинеарны.

Замечание 2. Система векторов  линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Определение 15. Базисом в пространстве L называют упорядоченную конечную систему векторов, если

1. она линейно независима

2. каждый вектор из L есть линейная комбинация векторов этой системы.

Коэффициенты линейной комбинации называют компонентами или координатами вектора в базисе, которые в этом базисе определяются однозначно.

Определение 16. Линейное пространство, в котором задан базис из n векторов, называется n- мерным, а число n – размерностью пространства.

Определение 17. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат, прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов – осями координат.

Определение 18. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно-ортогональны и по длине равны единице. Такая система называется декартовой прямоугольной системой координат, коротко ДПСК.

ДПСК в  (подробно рассмотрим ниже).