Правило решения произвольной системы линейных уравнений

1.  Вычисляем ранг основной и расширенной матрицы и решаем вопрос о совместности системы. Если система совместна, то находим какой-либо базисный минор M порядка r.

2.  Берем r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор, остальные уравнения отбрасываем. Неизвестные, коэффициенты которых составляют базисный минор, считаем главными и оставляем слева. Остальные n – r неизвестных считаем свободными и переносим в правые части уравнений.

3.  По правилу Крамера находим выражения главных неизвестных через свободные. Полученные равенства являются общим решением системы.

4.  Придавая свободным неизвестным любые числовые значения, находим соответствующие значения главных неизвестных, т.е. частные решения системы.

Пример. Решить систему:

 

1) , ;

, , следовательно, система совместна.

В качестве базисного минора возьмем определитель ,

2) Отбросим третье уравнение системы, получим систему двух уравнений:

В которой неизвестные  и – главные а  и – свободные.

3) Решим эту систему по формулам Крамера:

,

,

отсюда, , .

4) Подставляя полученные выражения для  и  в третье уравнение исходной системы, получим тождество:

 .

Ответ: общее решение: , частное решение при , : .

Пп. 2. Метод Гаусса

Решение неоднородных систем

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения линейных алгебраических систем является метод Гаусса, который состоит в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система неоднородных уравнений

 

Процесс решения состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

где . Коэффициенты  называют главными коэффициентами системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Прямой ход:

Будем считать, что элемент ; (если , то первым в системе запишем то уравнение, в котором коэффициент при  отличен от 0).

Преобразуем систему, исключив неизвестное  во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на  и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на  и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему

Здесь ,  – новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом , исключим неизвестное  из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока возможно.

Если в процессе решения появляются нулевые уравнения, т.е. уравнения вида , их отбрасывают. Если же появляются уравнения , а , то это говорит о том, что система несовместна.

Обратный ход заключается в решении ступенчатой системы уравнений, которая, вообще говоря, имеет бесконечное множество решений. В последнем уравнении выражаем первое неизвестное через остальные неизвестные . Затем подставляем значение  в предпоследнее уравнение системы и выражаем  через  и т.д. Придавая свободным неизвестным  произвольные значения, получим бесчисленное множество решений.

Замечание 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т.е. , то система имеет единственное решение.

Замечание 2. На практике удобнее работать не с системой, а с расширенной матрицей системы (пример см. в методичке Парыгина и др. ч.2, стр. 13).