Статистические модели и характеристики.

 

Простейшей статистической моделью непрерывного сообщения является непрерывная случайная величина.

Непрерывной сл.в. называется такая величина, возможные значения которой сплошь (непрерывно) заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси, называемый иногда интервалом существования этой сл.в. Возможные значения такой сл.в. неотделимы друг от друга, а число их бесконечно.

В отличие от дискретной для непрерывной сл.в. ряд распределения построить нельзя. Непрерывная сл.в. на любом конечном интервале числовой оси имеет бесконечно большое число возможных значений. Поэтому вероятность конкретного значения стремится к нулю. Универсальной характеристикой является функция распределения вероятностей F(x).

Функцией распределения вероятностей называется такая функция F(x) от переменной x, которая определяет вероятность того, что сл.в. примет значение меньшее, чем x, т.е. из интервала от  до x:

.

Функция распределения F(x) является исчерпывающей характеристикой сл.в. Однако по ней обычно трудно судить, как быстро изменяется распределение в окрестности какой-либо точки числовой оси. От этого недостатка свободна другая характеристика. Поэтому в задачах, имеющих дело с непрерывной сл.в., удобнее работать не с функцией F(x), а с ее производной, называемой плотностью (распределения) вероятностей p(x).

71

Плотностью вероятности p(x) называется производная функции распределения случайной величины

.

Как характеристика непрерывной сл.в. п.в. позволяет судить о том, насколько одно значение сл.в. более вероятно (или менее вероятно), чем другие. Иногда п.в. называют дифференциальным законом распределения.

Основные свойства плотности вероятности поясняются рисунком.

 

Непрерывное сообщение, например речь, представляет собой изменяющийся во времени процесс. Следовательно, в данном случае приходится иметь дело с такими непрерывными сл. в., которые зависят от времени и поэтому в процессе одного наблюдения изменяются случайным образом с течением времени. Во всех подобных случаях говорят о случайных процессах.

Случайный процесс (сл. пр.) характеризуется тем, что какая-либо физическая величина изменяется в некотором пространстве состояний (фазовом пространстве), причем эти изменения подчиняются вероятностным законам. Конкретный вид сл. пр. (т.е. его фактическая запись, например, в виде фотографии или осциллограммы) в определенном опыте называется реализацией сл. пр. В качестве синонимов употребляются также термины “ траектория сл. пр. ” и “ выборочная функция ”.

Для обозначения зависимости сл. пр. от аргументов применяются случайные функции. Будем обозначать случайные функции буквами греческого алфавита с указанием в скобках аргументов, а их реализации малыми буквами латинского алфавита. Случайной функцией ξ(t) называется такая функция, которая при любом фиксированном значении аргумента является сл.в. Это означает, что при неизменных условиях опыта значения ξ (t) при t = const в реализациях, полученных для нескольких полностью идентичных систем, будут различными, т.е. представляют собой сл.в. В этом состоит существенное отличие случайной функции от детерминированной, значение которой обычно однозначно определяется значениями аргументов. Очевидно, что если физические причины случайного характера, порождающие рассматриваемый сл. пр., отсутствуют полностью, что в действительности никогда не имеет места, то случайная функция переходит в детерминированную.

В радиотехнике наиболее часто приходится оперировать со сл. пр. ξ (t), зависящими от времени. При этом под случайным (стохастическим, вероятностным) процессом обычно понимается электрическая величина (ток, напряжение, напряженность поля и др.) в рассматриваемой системе, которая изменяется случайно во времени.

Непрерывнозначный случайный процесс – сл. пр., область значений и область определения которого – непрерывные множества. В данном случае ξ (t) принимает значения из некоторого непрерывного пространства и аргумент t изменяется также непрерывно, причем реализации процесса могут иметь разрывы первого рода. Если подобные скачки отсутствуют, то такой процесс называется непрерывным. Процесс на называется комплексным, если он принимает комплексные значения.

Самым распространенным сообщением среди непрерывных является речь. Она представляет собой непрерывный случайный процесс λ(t), образованный следующими друг за другом звуками. Плотность вероятности отдельных звуков близка к нормальной и поэтому для речи можно написать выражение одномерной нормальной нестационарной плотности вероятности

С учетом разделения звуков речи на гласные, звонкие, глухие и взрывные согласные по формуле полной вероятности можно записать:

            

Здесь Рг(λ), Рзс(λ), Ргс(λ) и Рвс(λ) - указанные выше плотности ве­роятности речевого процесса, при условии, что в данный момент времени передается гласный, звонкий, глухой или взрывной согласный звук.

Если речь передается с шумом, то в формуле к дисперсиям звуков надо добавить дисперсию шума. На рисунке приведен график плотности вероятностисмеси речи с шумом для случая, когда дисперсия шума Dn=0,5, Dгс=0,005, 1–расчет, 2 – эксперимент.

 

При построении аналоговых систем связи необходимо иметь математические модели речевого процесса λ(t). Выбор той или иной модели реального процесса зависит какот требуемой точности, так и сложности математической модели. Известно, что любой реальный процесс можно описать с любой степенью точностью с помощью марковских процессов, если не ограничиваться сложностью этой модели. В основе этих моделей лежат стохастические дифференциальные уравнения, которые могут описывать прохождение нормального белого шума, через, как правило, линейные цепи (стохастическими уравнения называются из-за БГШ, входящего в уравнение).

Находят применение несколько таких моделей, с различной точностью соответствующих реальному процессу. Наиболее простой является модель марковского случайного процесса, задаваемая априорным дифференциальным уравнением

,

где α=4000 с^-1(Гц) – ширина спектра случайного процесса λ(t); 1/α —постоянная времени, характеризующая длительность переходных процессов в формирующем фильтре (время корреляции процесса λ(t));  - формирующий белый шум с корреляционной функцией . Дисперсия процесса λ(t) равна D_λ=N_λ/4α, где N_λ/2 спектральная плотность формирующего шума n_λ(t).

Процесс λ(t) можно трактовать как результат прохождения нормального белого шума через интегрирующую цепь с RC=1/α =Т.

В дальнейшем линейную цепь, формирующую передаваемые сообщения из шума n(t), будем именовать формирующим фильтром а сам шум - формирующим (информационным). Поскольку линейные преобразования не меняют свойства нормальности, то процесс λ(t) тоже является нормальным.

Убедимся, что уравнение

описывает процесс, получаемый на выходе интегрирующейRC - цепочки при действии на его входе БГШ. Действительно, так как

то .С учетом того, что  и при условии U_c= λ(t) и , полностью совпадает с рассматриваемым уравнением. Вид случайного процесса l(t) показан на рисунке.

Рис. Непрерывный нормальный случайный процесс l(t).

 

Нормальное распределение имеет особое значение для статистического описания непрерывных сообщений. Также большое значение имеют равномерное, экспоненциальное (показательное) распределения и распределение Релея.