П.3. От тригонометрической функции.

Задача 72. Вычислить интеграл .

Решение. , , .

Тогда  = ,

вынесем за знак интеграла все константы, получим

 =  =

 

Надо умножить каждую на каждую, лучше всего их все учесть с помощью такой таблицы.

 

		2
			1
2		4
	1

 

=

что далее можно представить в виде суммы 5 интегралов. Для 1-го и 2-го из них функции вообще не имеет особых точек внутри круга радиуса 1, эти слагаемые 0. Исследуем 3 последних.

, каждый считается с помощью вычета внутри круга, причём для всех полюс это точка . Но в одном случае это полюс 1 порядка, а в других 3-го и 5-го. Если полюс кратный, то находится производная от числителя, а он равен константе, значит, производная равна 0. Таким образом, два последних интеграла тоже 0.

 =  =

 =  = .       Ответ. .

Задача 73. Вычислить интеграл . 

Решение. Здесь надо сделать замену , при которой:  

, .

 =  =  =

 = .

Теперь найдём корни многочлена в знаменателе, тем самым найдём полюсы функции.

. , корни  и . Один из них, очевидно, внутри единичного круга, другой снаружи. Поэтому надо будет найти всего один вычет.

С учётом найденных полюсов, интеграл запишется в виде:

 =  =

 =  = . Ответ. .

 

Задача 74. Вычислить .

Решение.  =   =

 = = 

 , далее найдём корни многочлена в знаменателе, это и будут полюсы функции.

 = 64, , т.е.  и .

Один полюс внутри круга, другой снаружи, таким образом, надо будет считать только один вычет в точке .

 =  =  =

 =  =   . Ответ. .  

 

Задача 75. Вычислить интеграл .

Решение.  =  

Чтобы упростить это выражение, сначала домножим на  в числителе и знаменателе, затем на 2, затем домножим , которое есть в знаменателе, на все слагаемые слева от него.

 =  =

Отдельный множитель  в знаменателе наоборот, лучше не объединять со знаменателем большой дроби, ведь он и так соответствует полюсу . Чтобы не приводить к 3-й степени и не усложнять поиск корней многочлена, лучше оставить это  отдельно, и найти 2 корня многочлена второй степени.

Итак, получили . Один полюс  видно сразу, ищем 2 других. Ищем корни многочлена .

.  =  = . При этом  по модулю больше 1, т.е. этот полюс вне единичного круга, а точка  внутри круга.

Итак, 2 из 3 полюсов внутри круга радиуса 1, т.е. интеграл определяется суммой вычетов в них. 

Подынтегральную функцию можно представить в виде:   впрочем, когда мы будем считать вычет в 0, те две скобки можем для краткости опять объединить.

Итак, мы должны вычислить  , причём полюсы 1-го порядка.

 =

 =

 =  =

=  =  = 0.

       Для сравнения, покажем решение этой задачи методами прошлого семестра, без вычетов. Можно было применить универсальную тригонометрическую подстановку, но лучше подвести под знак дифференциала.

 =  =  =  =  = 0.  Ответ. 0.