Практика 7 (неделя с 12 по 18 октября). Аудиторно.

Задача 63. Вычислить вычет .

Решение. Здесь точка  полюс 2-го порядка.

Тогда  =  =  =  =  = . Ответ. .    

Приложения вычетов.

П. 1. По замкнутому контуру.

Задача 64. Вычислить интеграл .

Решение. Так как радиус равен 4,5 то точки 1 и 4 внутри круга, а 6 снаружи. Поэтому интеграл считается с помощью суммы двух вычетов, а не трёх.

 = . Одна из точек () это полюс 2-го порядка, в том случае надо считать производную, а там где полюс 1-го порядка () не нужно.

 =  =

 =  =

 =  =  =

 =  =  = .

Для технического удобства вычисления производной мы сначала перемножили в знаменателе, а потом снова разъединили множители.

Ответ. .

Задача 65. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь очевидно, точки 2 и 4 внутри круга, 6 снаружи, так как радиус равен 5.

 =  =

 =  =

 =  =  =  = .

Ответ. .

П. 2. По действительной оси.

Задача 66. Вычислить интеграл  с помощью вычетов.

Решение. Рассмотрим функцию , её можно представить в виде , есть 4 полюса первого порядка: . Интеграл по границе верхнего полукруга равен сумме вычетов в 2 точках, а именно . Если радиус больше 6, то обе точки внутри полукруга, и при дальнейшем увеличении радиуса интеграл уже не изменится. При этом из теории известно, что при увеличении радиуса, доля результата, приходящегося на горизонтальный отрезок, растёт, а по дуге - стремится к 0, потому что здесь степень знаменателя на 4 больше, чем числителя, то есть модуль функции величина порядка , а дуга длины . Поэтому интеграл по дуге меньше, чем , и стремится к 0. В пределе, действительная ось - граница верхней полуплоскости.

Таким образом,  = , где .

=  =

 =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 67. Вычислить интеграл .

Решение. Найдём корни знаменателя функции .

 = . Тогда  = .

В верхней полуплоскости только один полюс, .

 =  =

 =  =  = .

Ответ. .

Замечание. Для сравнения, покажем и решение методами прошлого семестра, без комплексных чисел и вычетов.  =  =  =  = .

Задача домашняя. Вычислить интеграл .

Указание. Корни .     Ответ. .

Задача 68. Вычислить интеграл .

Решение.     Корни . Из них в верхней полуплоскости .

 =

 =  =

 =  = .      

Ответ. .

Задача 69. Вычислить .

Решение. Для решения таких задач во 2 семестре требовалось использовать рекуррентную формулу, чтобы свести к меньшей степени. А с помощью вычетов, это не нужно, отличие лишь в том, что полюс 2-го порядка, и надо будет использовать обобщённую интегральную формулу Коши (с производной). Тот факт, что интеграл по полуоси, не существенен: мы можем, пользуясь чётностью функции, удвоить до интеграла по всей оси (а потом разделить на 2) то есть решить этим методом можно.

 =  . Для функции

 в верхней полуплоскости единственная особая точка, это  , полюс 2-го порядка. 

=  =  =

 =  =  = . Ответ. .