Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Практика 1 (неделя до 6 сентября).Стр 1 из 7Следующая ⇒
Приходовский М.А. Математика - 3 семестр Курс практических занятий Учебное пособие Группы 519-1-2, 529, 539. Томск ТУСУР 2020 Оглавление по темам
Оглавление по номерам практик Практика № 1...................................................... 3 Практика № 2........................................................11 Практика № 3........................................................20 Практика № 4........................................................28 Практика № 5........................................................35 Практика № 6........................................................42 Практика № 7........................................................48 Практика № 8........................................................54 Практика № 9........................................................
Практика 1 (неделя до 6 сентября). Комплексные числа Задача 1. Умножить и поделить в алгебраической форме числа и . Решение. Умножим эти числа. = = = . Поделим, с помощью умножения на сопряжённое: = = = = = = . Ответ. и . Задача 2. Умножить и поделить . Решение. = = = . = = = = . Ответ. и . Задача 3. Разделить тремя способами: 1) с помощью умножения на сопряжённое число 2) в тригонометрической форме. 3) в показательной форме. Решение. 1) = = . 2) Построим чертёж, найдём модуль и аргумент каждого из 2 чисел. Модули ищутся по теореме Пифагора и равны и . Аргументы: , . Итак, . Делим их модули и вычитаем аргументы. = = = . 3) = = = = = Ответ. .
Задача 4. Умножить тремя способами: 1) с помощью обычного раскрытия скобок. 2) в тригонометрической форме. 3) в показательной форме. Решение. 1) = = . 2) Построим чертёж и найдём тригонометрическую форму каждого из чисел.
Умножаются их модули и складываются аргументы. = = = . 3) = = , а далее раскроем по формуле Эйлера = = . Ответ. .
Задача 5. Вычислить в показательной форме . Решение. Для 1-го числа: , . Для 2-го: , . Тогда = = = = , прибавим , для удобства вычисления. Итак, = . Ответ. . Дом. задание. Задачу 5 можно самостоятельно решить без показательной формы, умножением на сопряжённое. Задача 6. Возвести в степень: . Решение. Перейдём к показательной форме, для этого сначала найдём модуль и аргумент числа с помощью чертежа. Число в 1-й четверти, угол 45 градусов.
Чертёж, показывающий, расположение на плоскости, это число выделено красным цветом: = . По формуле Муавра, = = = = = = .
Ответ. . Задача 7. Возвести в степень в показательной форме: . Решение. Сначала построим чертёж и найдём и .
По чертежу видно, что угол здесь на 45 град. меньше чем 180, то есть 135 градусов, то есть , Проекции красной линии на координатные оси имеют длину 1 (каждая), поэтому . Тогда , = = = , мы можем отбросить 1 или более полных оборотов, при этом синус и косинус не изменятся, то есть отнять , либо . Тогда угол эквивалентен , и остаётся вычислить: = = . Ответ .
Задача 8. Возвести в степень . Решение. Аналогично прошлой задаче, сначала переводим в показательную форму. Угол здесь 30 градусов, то есть , модуль . Итак, = . Тогда = = = = Теперь можем отнять полный оборот , косинус и синус при этом не меняются. тогда получим = = = . Ответ. . Домашняя задача. Как в задаче 8, возвести в степень . Ответ. Задача 9. Вычислить Решение. Представим каждое число в показательной форме.
, , , . = = = = = но можно произвольно прибавить , ведь от этого не изменятся синус и косинус, поэтому = = . Ответ. . Задача 10. Вычислить . Решение. Представим в показательной форме каждое из чисел. , и , . Тогда = = = здесь в числителе прибавили угол , кратный , а в знаменателе отняли . Далее, = = = = = = . Ответ. .
Домашняя задача. Вычислить . Ответ. Корни из комплексных чисел. Вспомнить формулу: . Задача 11. Вычислить . Решение. Для числа : . По формуле получаем = , значений будет всего 2. : = , : = . Ответ.
Задача 12. Вычислить . Решение. Сначала запишем число в тригонометрической форме. . Тогда
= . Начертим окружность радиуса 2 и отметим там 6 точек, первой соответствует угол 300, остальные больше на 600, 1200 и так далее.
. Ответ. и .
Задача 13. Вычислить Решение. Формула: . Сначала найдём модуль и аргумент исходного числа. (т.к. 90 градусов и ещё 30 во второй четверти), . Тогда = = таким образом, 4 точки лежат на окружности, углы 300, 1200, 2100, 3000 (по +900 добавить 4 раза). Отмечены на чертеже зелёным. Здесь 4 корня:
: = = . : = = . : = = . : = = . Чертёж:
Ответ. и . Условия Коши-Римана. В следующей серии задач надо представить функцию в виде , а также проверить выполнение условий Коши-Римана.
Задача 21. представить в виде , и проверить выполнение условий Коши-Римана. Решение. = = , . Заметим, что условия Коши-Римана не выполнены, даже 1-е: , не равны между собой. Ответ. , . Задача 22. Функцию представить в виде , проверить условия Коши-Римана. Решение. = = = = = . Поэтому , . Заметим, что здесь нарушено уже даже 1-е условие Коши-Римана: , . Ответ. , .
Задача 23. представить в виде , проверить условия Коши-Римана. Решение. = Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы сначала шли именно те, в которых нет мнимой единицы , а затем те, в которых она есть. = =
. . Условия Коши-Римана не выполняются, даже 1-е из них: . , они противоположны, а должны совпадать. Ответ. . .
Задача 24. представить в виде , проверить условия Коши-Римана. Решение. = = = Далее по формуле Эйлера = = . Проверим выполнение условий Коши-Римана. Они совпадают (1-е условие Коши-Римана). Они противоположны (2-е условие Коши-Римана). Ответ. , . Задача 25. представить в виде , проверить условия Коши-Римана. Решение. = = Домножили на сопряжённое, чтобы в знаменателе получилось некое единое действительное число, а разбиение на Re и Im осталось только в числителе. Тогда дробь можно будет разбить на сумму или разность двух дробей. = = , - внутри , . Проверим условия Коши-Римана = = = = . Первое условие выполнено. , = , они противоположны, второе условие выполнено. Ответ. , .
Задача 26. представить в виде , проверить условия Коши-Римана. Решение. Если , то = = = далее раскроем по формуле Эйлера: ... = = воспользуемся чётностью косинуса и нечётностью синуса: ... = = = = , тогда , . Это можно ещё записать в таком виде, используя гиперболические синус и косинус: . Проверим условия Коши-Римана. = = . Первое условие выполнено. , они противоположны, второе условие выполнено. Ответ. , .
Задача 27. представить в виде , проверить условия Коши-Римана. Решение. = = = = , тогда , . Проверим условия Коши-Римана. совпадают; противоположные. Условия Коши-Римана выполнены. Ответ. , .
Обратная задача: Восстановление функции по разложению . Примечание. С помощью формул , . Задача 28. Дано: . Восстановить функцию . (обратная к задаче 27). Решение. Вспомним, что: , и применим эти выражения в записи . = = = = = = = = Ответ. .
Задача 29. Дано: = . Найти вид . Решение. Подставим , . = = = = = . Итак, . Ответ. .
Интегральная формула Коши. Следующая серия задач решается с помощью формул Коши: и .
Задача 41 (из лекц.). Вычислить . Решение. Окружность радиуса 1,5. Следовательно, точка разрыва 1 внутри, а точка снаружи, поэтому для неё считать не надо. Однако упустить множитель при записи нельзя, ведь в функции он остаётся. = = = = = . Ответ. . Задача 42. Вычислить . Решение. Здесь, в отличие от прошлого примера, уже не 2 а 3-я степень. = = = = = = .
Ответ. . Пример 43. Доказать = 0 для целого . Решение. Здесь по обобщённой интегральной формуле Коши при любом n получается, что нужно рассматривать . Но ведь любая производная от константы 1 есть 0. Поэтому результат 0. = 0 для .
Далее будут комбинированные задачи, состоящие из нескольких подзадач, где контур проводится сначала вокруг той или иной точки разрыва, а затем вокруг всех этих точек. Задача 44. Вычислить , где контур : А) Б) В) . Решение. В знаменателе разложим на множители, и станет видно, что корни многочлена там 2 и . = . Если контур радиуса 0,5 окружает одну из точек, то надо применить интегральную формулу Коши, где точка одна из них, а именно, в первом пункте , а во втором . Надо убрать из знаменателя соответствующую скобку, и присвоить конкретное вместо в оставшейся части функции. А) = = = = = . Б) = = = = = . В) В третьем пункте, где контур окружает уже обе точки, достаточно будет воспользоваться теоремой Коши и суммировать результаты двух предыдущих пунктов. Получится . Ответы. А) Б) В) . Задача 45. Вычислить , где контур : А) Б) В) Г) Д) . Решение. В каждом случае применяем интегральную формулу Коши к той или иной точке разрыва функции, 2, 3 и 5. Убирая соответствующий множитель из знаменателя, затем подставляем в оставшуюся часть функции это число. А) = = . Б) = = . В) = = . Если радиус 6, то все 3 точки находятся внутри контура. Суммируем все 3 результата: Г) + = 0. В последнем случае, лишь две из трёх точек внутри контура: Д) = . Ответы. А) Б) В) Г) 0 Д) .
Задача 46. Вычислить . Решение. = . Здесь две особые точки, это , они являются полюсами 1 порядка. Тогда в каждой из этих точек применим интегральную формулу Коши. = = = . Ответ. 0. Задача 47. Вычислить , где контур : А) Б) В) . Решение.
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-11-11; просмотров: 100; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.135.224 (0.18 с.) |