Стационарная Теплопроводность

ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКИ

 

Однородная стенка.

Рассмотрим однороднуюцилиндри­ческую стенку (трубу) длиной l м, с внутренним радиусом r₁ и внешним r₂. Коэффициент теплопроводности материала постоянен и равен λ. Внутренняя и внешняя поверхности под­держиваются при постоянных температурах t₁ и t₂, причем t₁ > t₂, (рис.10). Температура изменяется только в радиаль­ном направлении х.

Рис.10 Однородная цилиндрическая стенка

Следовательно, температурное поле здесь будет одномерным, а изотермические поверхности цилиндри­ческими поверхностями, имеющими с трубой общую ось. Вы­делим внутри стенки кольцевой слой с радиусом r и толщи­ной dr, ограниченный изотермическими поверхностями. Согласно закону Фурье тепловой поток, проходящий через этот слой в сек, равен (Вт)                     (25а)                                                                     

 Разделив переменные, получим

                             (25в)                            

Интегрирование последнего  уравнения

дает:     

                        (25с)       

Подставляя значение переменных на границах стенки, а именно при r = r ₁ и t = t ₁ при r = r ₂ и t = t ₂, получаем следующие два равенства:

                                                            (25д)

                                                           (25е)

Вычитая из первого равенства (д) второе (е), находим:

                           

откуда определяется неизвестная величина q:

                              (26)

Следовательно, тепловой поток через стенку трубы, пря- мо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ, длине l и температурному напору Δ t = (t ₁ - t ₂₎ и обратно пропорционально натуральному логарифму отношения внешнего радиуса трубы r ₂ к внутреннему r ₁. Вместо отношения радиусов можно брать отношение диаметров.

Уравнение (26) является расчетной формулой теплопроводности цилиндрической стенки. Оно остается справедливым для случая, когда t ₁ < t ₂, т.е. когда тепловой поток направлен от наружной поверхности к внутренней. Если в уравнение (с) подставить значение постоянной С уравнения (д), а значение Q из уравнения (26), то получим ­уравнение температурной кривой:

                 , ^оС                 (27)

Оно представляет собой уравнение логарифмической кривой. Следовательно, внутри однородной цилиндрической стенки постоянном значении коэффициента теплопроводности температура изменяется по логарифмической кривой (рис.10).  

    Дополнительные сведения. Если учесть зависимость коэффициента теплопроводности от температуры λ = λ₀(1+ bt), то уравнение температурной кривой для цилиндрической стенки будет иметь следующий вид:

                                     (28)                          

Количество тепла, проходящее в час через стенку трубы, может быть отнесено либо к 1 пог. м длины трубопровода, либо к единице внутренней, либо к единице внешней поверхности трубы. При этом расчетные формулы соответственно принимают следующий вид:

               , Вт/м                                (29)

               , Вт/м²                   (30)

              , Вт/м²                  (31)

  Так как внутренняя и внешняя поверхности трубы по величине различны, то различными получаются и значения удельных тепловых потоков q₁ и q_2. Из формул (1.17), (1.18) и (1.19) легко получить соотношение, связывающее между со­бой величины q ₁ и q ₂ и q _l, а именно:

                                     q ·l= π d ₁· q ₁ = π d ₂· q ₂

 

Рис. 11 Многослойная цилиндрическая стенка

         1. 3. 2  Многослойная стенка.

  Пусть цилиндрическая стенка состоит из нескольких, например трех, разнородных слоев. Благодаря хорошему контакту между слоями соприкасающиеся поверхности разных слоев имеют общую температуру. Диа­метры и коэффициенты теплопроводности отдельных слоев известны, их обозначения см. на рис.11. Кроме того, из­вестны температуры внутренней и внешней поверхностей многослойной стенки t ₁ и t ₄. В местах соприкоснове­ния слоев температуры неизвестны, обозначим их через t ₂ и t ₃

При стационарном режиме количе­ство тепла, проходящего через каждый слой, одинаково и постоянно. Поэтому на основании формулы (29) можно написать плотность теплового потока

                                                          (32)

 

Из этих уравнений определяется изменение температуры в каждом слое:

                                                      (33)        

Сумма изменений температуры в каждом слое составляет полный температурный напор. Складывая отдельно левые и правые части системы уравнений (в), получаем:

                 (34)

 

откуда определяется значение теплового потока q_l.

                                  (35)

По аналогии с этим без вывода можно написать формулу для п -слойной стенки:

                                    (36)

Если значение q_l из формулы (36) подставить в уравне­ние (33), то получим значения неизвестных температур на поверхности соприкосновения слоев:

  (37)  

Внутри каждого слоя согласно уравнению (27) темпера­тура изменяется по логарифмическому закону, но для много­слойной стенки в целом температурная кривая представляет собой ломаную кривую (рис.11).

 

Упрощение расчетных формул

(дополнительные сведения).

  Приведенные выше рас­четные формулы для трубы неудобны тем, что в них входит логарифм. С целью упрощения расчетов вместо формулы (29) может быть применена следующая формула теплового потока

      

или плотности теплового потока

                                            (38)

аналогичная формуле  для плоской стенки.

   Здесь  средний диаметр трубы и  -

толщина стенки трубы. Влияние кривизны стенки при этом учитывается особым коэффициентом φ, который называется коэффициентом кривизны. Его значение определяется отношением диаметров ; в самом деле, из сопоставления между собой формул (29) и (38) имеем:

(39)

 

Значения коэффици­ента кривизны для различных отношений приведены на рис. 12. 

Рис. 12

                               

приведены на рис.12. Из фигуры видно, что при <2 значение φ близко к единице. Так как при φ=1  формула (38) тождественна формуле (12), то это означает, что если толщина стенки трубы по сравнению с диаметром мала или, что то же, если отношение  мало, то влиянием кри­визны стенки можно пренебречь, и тогда рас­чет теплопроводности трубы производится по формулам для плоской стенки.

При расчете теплопроводности многослойной стенки трубы вместо формулы (36) также можно применять упрощенную, которая в этом случае имеет следующий вид:

         ,                 (40)

где δ_i - толщина;

  d_тп - средний диаметр;

   λ -  коэффициент теплопроводности;

   φ - коэффициент кривизны отдельных слоев много-

          слой­ной стенки трубы.