Стационарная Теплопроводность

ПЛОСКОЙ СТЕНКИ

 

        Основываясь на законе   Фурье, можно вывести расчетные формулы теплопроводности.

 

Однородная стенка.

Рассмотрим однородную стенку толщиной δ (рис.6). Коэффициент теплопроводности мате­риала постоянен и равен λ. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t₁ и t₂. Температура изменяется только в направлении оси х, перпендикулярной плоскости стенки. Следовательно, в этом случае температур­ное поле одномерно, а плоские изотермические поверхности располагаются перпендикулярно оси х.

Выделим внутри стенки на расстоянии х от поверхности слой толщиной dх, ограниченный двумя изотермическими по­верхностями. На основании закона Фурье (уравнение 6) для этого слоя можно написать плотность теплового потока

Рис. 6  Однородная плоская стенка

                                   (11а)

Разделив переменные, получаем:

                                      (11в)

Интегрирование последнего уравнения дает:

                                   (11с)

Постоянная интегрирования С определя­ется из граничных условий, а именно: при х =0   t = t₁. Подставляя это значение в уравнение (11с), получаем:

           С = t₁                             (11д)

При х =0    t = t ₂, следовательно,

                                                             (11е)

Последнее уравнение позволяет определить неизвестную величину плотности теплового потока q, а именно:

                                                      (12)

Следовательно, количество тепла, переданное через 1 м² стенки в единицу времени с, прямо пропорционально коэффи-циенту теплопроводности λ и разности температур наружных поверхностей стенки Δt и обратно пропорционально толщине стенки δ. При этом следует особо отметить, что тепловой поток определяется не абсолютным значением температур, а их разностью - темпе­ратурным напором Δt = t ₁ - t₂. Уравнение (12) является расчетной формулой теплопроводности плоской стенки. Она связывает между собой четыре величины: q, λ, δ и Δt.

Зная из них лю­бые три, можно найти четвертую. Отношение  Вт/м² К называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина  м² К/ Вт - теп­ловым или термическим сопротивлением стенки. Последнее определяет падение температуры при прохождении через стенку удельного теплового потока, равного единице. Определив по формуле (12) величину плотности теплового потока, легко вычислить и общее количество тепла Q, пере­данное через плоскую стенку поверхностью F (м²) в течение времени τ

                                               (12а)

Если в уравнение (11с) подставим значение постоянной С из уравнения (11д) и значение q из уравнения (12), то получим урав­нение температуры по толщине стенки распределения

                                               (13)

Последнее является уравнением прямой линии. Следова­тельно, при постоянном значении коэффициента теплопровод­ности температура однородной стенки изменяется по закону прямой.

Дополнительные сведения. В действительности же вследствие зависимости от темпе­ратуры коэффициент теплопроводности является переменной величиной. Если это обстоятельство учесть, то получим иные, более сложные расчетные формулы. Для подавляющего боль­шинства материалов зависимость коэффициента теплопроводно­сти от температуры получается линейной, например λ = λ ₀(1 + bt). В этом случае на основании закона Фурье для плоской стенки имеем:

                                              (14а)

Разделив переменные и произведя интегрирование, получим

                                                              (14в)

в уравнение (14в) граничные значения переменных, имеем

 при х = 0 t = t₁ и и ;                 (14с)

 при х = δ t = t₂ и и ;           (14д)                

Вычитая из второго равенства (14с) первое (14д), находим:

               ,                     (14е)

Откуда

                                              (15)

Это и есть новая расчетная формула, которая по сравнению с формулой (12) несколько сложнее. В формуле (12) мы принимаем коэффициент теплопроводности постоянным и равным некоторому среднему значению λ_т. Теперь, приравнивая, правые части формул (12) и (15), имеем:

                             (16)

Следовательно, если λ_т определяется по формуле (6), т. е. по

среднеарифметическому из граничных значений температуры стенки, то формулы (12) и (15) равнозначны.

Уравнения температурной кривой в стенке получается путем решения квадратного уравнения (14в) относительно t и подставляя значения С из уравнения (14с), а именно:

                                               (17)

Из этого уравнения следует, что в действительности температура стенки изменяется не по прямой, а по кривой. В некоторых случаях изменение температуры в стенке требуется рассчитывать по этой более сложной формуле (17).

Многослойная стенка.

  Стенки, состоящие из нескольких разнородныхслоев, называются многослойными. Именно такой является кладка металлургических печей, состоящая из огнеупорного и теплоизоляционного материала, а так же обмуровка теплоэнергетических агрегатов.

 Пусть стенка состоит из нескольких, например трех, разных, но плотно прилегающих друг к другу слоев (рис.7). Толщина первого слоя равна δ _1, второго δ ₂ и третьего δ ₃ Соответственно коэффициенты теплопроводности слое λ_1, λ₂ и λ₃. Кроме того, известны температуры наружных поверхностей многослойной стенки t ₁ и t ₂. Благодаря хорошему контакту между слоями соприкасающиеся поверхности имеют одну и ту же температуру, но значения этих температур неизвестны; обозначим их через t ₂ и t ₃

При стационарном режиме плотность теплового потока постоянна и для всех слоев одинакова. Поэтому на основании формулы (12) для каждого слоя можно написать плотность теплового потока:

Рис.7  Многослойная плоская стенка.

                       (18а)

Из этих уравнений легко определить изменение температуры в каждом слое:

                                                                 (18в)

 

Сумма изменений температур в каждом слое составляет полный температурный напор. Складывая левые и правые части системы уравнений (в), получим:

                                     (18с)

 

Из этого соотношения определяется значение  плотности теплового потока:

                                                   (19)

 

По аналогии можно сразу записать расчетную формулу для п -слойной стенки:

                                                             (20)

 

Так как каждое слагаемое знаменателя в уравнении (19) представляет собой термиче­ское сопротивление слоя, то из уравнения следует, что общее термическое сопротивлением многослойной стенки равно сум­ме частных термических сопро­тивлений. Если значение теплового потока из формулы (19) подставить в уравнения (18в), то получим значения неизвестных температур t₂ и t₃

                   

Внутри каждого слоя температурная кривая изменяется по прямой, но для многослойной стенки в целом она пред­ставляет собой ломаную линию (рис.8).

  Дополнительные сведения. Значения неизвестных температур t₂ и t₃ можно опреде­лить графически.

Рис. 8 Графический способ определения промежуточных температур t1 и t2

 При  этом построение графика производится следующим образом. По оси абсцисс (рис.8) в любом мас­штабе, но в порядке расположения слоев откладываются зна­чения их термических сопротивлений

 и восстанав­ливаются перпендикуляры. На крайних из них также в произ­вольном, но одинаковом масштабе откладываются значения наружных температур t₁ и t₄. Полученные точки А и С соединяются прямой. Точки пересечения этой прямой со ними перпендикулярами дают значения искомых температур t ₂ и t ₃. В самом деле, ΔАВС  ΔАВЕ. Следовательно,

               

 Подставляя значения отрезков, получаем:

             

или в соответствии с одним из уравнений (21)

                    

Аналогичным образом доказывается, что

                  

Иногда ради сокращения выкладок многослойную стенку рассчитывают как однослойную (однородную) стенку толщиной Δ. При этом в расчет вводится так называемый эквивалентный коэффициент теплопроводности, значение которого определяется из следующего соотношения:

                       (22)

Отсюда имеем, что

                                          (23)

Для п -слойной стенки получаем следующую формулу:

                                                                  (24)

Таким образом, эквивалентный коэффициент теплопроводности зависит только от значений термических сопротивлений и толщины отдельных слоев.

При выводе формулы для многослойной стенки мы пред-

полагали, что слои плотно прилегают друг к другу и благодаря хорошему контакту соприкасающиеся поверхности разных слоев   имеют одну и ту же температуру. Однако, если поверхности шероховаты, то тесное соприкосновение невозможно и между слоями образуются тонкие воздушные зазоры. Так как теплопроводность воздуха мала (λ = 0,02), то наличие даже очень тонких зазоров может сильно сказаться в сторону уменьшения эквивалентного коэффициента теплопроводности многослойной стенки. Аналогичное влияние оказывает и слой окисла металла. Поэтому при расчете, и в особенности при измерении теплопроводности многослойной стенки, на плотность контакта между слоями нужно обращать особое внимание.

   Пример 1-1. Определить часовую потерю тепла через кирпичную стенку длиной 5 м, высотой 3 м и толщиной 250 мм, если на поверхностях поддерживаются температуры t₁ = 20°С и

t₂ = - 30^оС. Коэффициент теплопроводности кирпича

λ = 0,6 Вт/м К.

Согласно уравнениям (1.4) и (1.5)

          Вт/м²

                           Вт

    Пример 1-2. Каково значение коэффициента теплопроводности материала стенки, если при δ = 300 мм и Δt = 1000° С, q = 900 Вт/м²

Согласно формуле (1.4) имеем:

                

Пример 1-3. Определить тепловой поток q через плоскую шамотную стенку толщиной δ = 0,5 м и найти действительное распределение температуры, если t₁=1 000° С, t₂ = 0° С и λ = 1,0 (1+ 0,001 t) Вт/м К

Сначала вычислим среднюю температуру стенки t_ст

                        ^оС

По этой средней температуре t_т определим среднее значение коэффициента теплопроводности λ_т:

             λ _ст = 1,0(1 +0,001 t _ст) = 1,5 Вт/м К.

Подставляя полученное значение  λ _ст в уравнение (12), получим:

           , Вт/м²  

Точно такой же результат получим и при расчете по формуле (15). Действительное распределение температуры в стенке определяется по уравнению (17). Результаты подсчетов приведены в таблице 2 и на рисунке 3. Для сравнения приведены результаты расчета по формуле (13).

Таблица 2 Распределение температур в стенке

 

х, м	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	Примечание
tх' °С tх' °С	1000 1000	845 800	675 600	480 400	265 200	0 0	формула(1.8)  формула(1.6)

Рис. 9. Распределение температур в стенке при переменном и постоян­ном коэффициентах теплопровод­ности