Разложение вектора по системе векторов:

Пусть – произвольный вектор, – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

, (1)

то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительно базиса .

Переход к новому базису:

Вектор в старом базисе:

В новом:

Старые координаты связаны с новыми

Решив эту систему с помощью обратной матрицы, найду координаты вектора в новом базисе
Матрица, связывающая старые и новые координаты:

Новые и старые координаты связаны отношением:
b=Bb^I
b – матрица старых координат;
B – матрица, связывающая координаты старые и новые;
B^I – матрица новых координат.
Отсюда:
b^I=B^-1b
Найду обратную матрицу B^-1.

Определитель ≠0, значит обратная матрица существует.
Найду алгебраические дополнения:

 

25. Определение скалярного произведения векторов в n-мерном векторном пространстве, его свойства. Евклидово действительное пространство. Ортогональный и ортонормированный базис в пространстве.

Ортогональный базис:

1) Два вектора называются ортогональными (перпендикулярными), если угол между ними прямой.

2) Система векторов называется ортогональной, если все векторы, образующие её попарно ортогональны.

Ортонормированный базис:

1) Система векторов называется ортонормированной, если она ортогональна и длина каждого вектора = 1.

Скалярное произведение векторов(ab, (a, b), a* b)– скалярным произведением ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: (a,b) = |a | * |b | * cos = |b| * проекцию b на a

Свойства скалярного произведения:

1) (a, b) = (b, a)

2) (λa, b) = λ (a, b)

3) (a, b + c) = (a, b) + (a, c)

4) (a, a) = | a|^2

5) (a, b) = 0, когдаa |b

6)еслиa |b,то (a, b) = 0

Евклидово пространство - в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов. Обычно n-мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .

Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём (положительно определенным)скалярным произведением, порождающим норму:

,

в простейшем случае (евклидова норма):

где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).