Свойства векторного произведения: (алгебраические)

1) для любых векторов a, b и c, и действительного числа Л выполняется следующее свойство: [ a, b] = - [ b, a];

2) [ a + b, c] = [ a + c ] + [ b, c ];

3) [λa, b ] = Л [ a, b ].

Геометрически свойства векторного произведения:

1)модуль вектороного произведения чесленно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b;

2) векторное произведение = нулевому вектору, тогда и только тогда, когда множители коллинеарны(если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой).

Представление в виде определителя:

Если система координат левая, то их векторное произведение имеет вид:

Результирующий вектор - средний вектор, т. е. векторная сумма составляющих векторов. Вычисляется за некоторый период времени.

 

Общее определение линейного пространства. Линейное векторное пространство. Примеры линейных пространств.

Линейным (векторным) пространством называется множество Vпроизвольных элементов, названных векторами, в котором определены операции сложения и умножения вектора на число.

Сумма:U + V, U, V Vлинейные операции

Умножение: λ*U, U V

Аксиомы (свойства) линейного пространства:

1) , для любых (коммутативность сложения);

2) , для любых (ассоциативность сложения);

3) существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;

4) для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).

5) (ассоциативность умножения на скаляр);

6) (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7) (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8) (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Пример линейного пространства:

Гильбертово пространство - пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов. Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовые последовательности x = (x₁, x₂,..., x_n,...) такие, что ряд x²₁+ x²₂+... + х²_n+... сходится.

24. n-мерное линейное векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства. Разложение вектора по системе векторов. Переход к новому базису.

n -мерное векторное пространство – пространство, имеющее n измерений (размерности n). Обычно этот термин применяется к пространству размерностью более трёх. При n=∞ имеем бесконечномерное пространство.

Размерность векторного пространства -максимальное число линейно-независимых векторов в векторном (линейном) пространстве. Если это число конечно, то пространство называется конечномерным (многомерным). В противном случае — бесконечномерным.

Базис векторного пространства - набор из максимального (для данногопространства) числа линейно независимых векторов. Следовательно, все остальные векторы пространства оказываются линейными комбинациями базисных. Если все базисные векторы взаимно ортогональны, а длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным. Единичный базисный вектор называют ортом (обозначается e_i, где i — номер координаты).

Каждый вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов: a = ∑ a_ie_i. Коэффициенты разложения ai однозначно определяют вектор a. Поэтому часто говорят, что n -мерный вектор — это упорядоченная совокупность n чисел {a_i}. Размерность векторного пространства равна количеству векторов, составляющих его базис.