Расчет сезонной компоненты в аддитивных моделях.

 

ПРИМЕР 2 (продолжение). Вернемся к примеру 2, в котором рассматриваются квартальные объемы продаж компании за последние 13 кварталов. Мы уже выяснили, что этим данным отвечает аддитивная модель, т.е. фактически объемы продаж можно выразить следующим образом: X = FT + S + Е.

 

Для того чтобы элиминировать влияние сезонной компоненты, воспользуемся методом скользящего среднего.

 

Просуммировав первые четыре значения, получим общий объем продаж в 2012 году. Если поделить эту сумму на четыре, можно найти средний объем продаж в каждом квартале 2012 года, т. е.

 

(239 + 201 + 182 + 297)/4 = 919/4 = 229,75.

 

Полученное значение уже не содержит сезонной компоненты, поскольку пред­ставляет собой среднюю величину за год. У нас появилась оценка значения тренда для середины года, т.е. для точки, лежащей в середине между кварталами II и III.

 

Если последовательно передвигаться вперед с интервалом в три месяца, можно рассчитать средние квартальные значения на следующих промежутках.

 

апрель 2012 года — март 2013 года:

 

(201 + 182 + 297 + 324)/4 = 1004/4 = 251,

 

июль 2012 – июнь 2013:

 

(182 + 297 + 324 + 278)/4 = 1081/4 = 270,25;

…

апрель 2014 года - март 2015 года:

 

(360 + 335 + 462 + 481)/4 = 1638/4 = 409,5.

 

Данная процедура позволяет генерировать скользящие средние по четырем точкам для исходного множества данных. Получаемое таким образом множество скользящих средних представляет наилучшую оценку искомого тренда. Теперь полученные значения тренда можно использовать для нахождения оценок сезонной компоненты.

 

Мы рассчитываем: X – FT = S + E.

 

К сожалению, оценки значений тренда, полученные в результате расчета скользящих средних по четырем точкам, относятся к несколько иным моментам времени, чем фактические данные.

 

Первая оценка, равная 229,75, представляет собой точку, совпадающую с серединой 2012 года, т.е. лежит в центре промежутка фактических значений объемов продаж во II и III кварталах. Вторая оценка, равная 251, лежит между фактическими значениями в III и IV кварталах 2012 года.

 

НАМ ЖЕ ТРЕБУЮТСЯ ДЕСЕЗОНАЛИЗИРОВАННЫЕ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ТЕМ ЖЕ ИН­ТЕРВАЛАМ ВРЕМЕНИ, ЧТО И ФАКТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ ЗА КВАРТАЛ.

 

Положение десезонализированных средних во времени сдвигается путем дальнейшего расчета средних для каждой пары значений.

 

Найдем среднюю из первой и второй оценок, центрируя их на июль-сентябрь 2012 года, т. е.

 

(229,75 + 251) / 2 = 240,375 ≈ 240,4.

 

Это и есть десезонализированная средняя за июль-сентябрь 2012 года.

 

Эту десезонализированную величину, которая называется центрированной скользящей средней, можно непосредственно сравнивать с фактическим значением за июль-сентябрь 2012 года, равным 182.

 

Отметим, что это означает отсутствие оценок тренда за первые два или последние два квартала временного ряда. Результаты этих расчетов приведены в следующей таблице (рис. 21).

 

Дата	Объем продаж	Итого за четыре квартала	Скользящее среднее за четыре квартала	Центрированное скользящее среднее	Оценка сезонной компоненты X – FT = S –E
Январь – март 2012 г.	239	919 (начиная с января 2012 г.)	229,75	---	---
Апрель – июнь 2012 г.	201	1004 (начиная с апреля 2012 г.)	251	---	---
Июль – сентябрь 2012 г.	182	1081(начиная с июля 2012 г.)	270,25	240,4	– 58,4
Октябрь – декабрь 2012 г.	297	1156 (начиная с октября 2012 г.)	289	260,6	+ 36, 4
Январь – март 2013 г.	324	1243 (начиная с января 2013 г.)	310,75	279,6	+ 44,4
Апрель – июнь 2013 г.	278	1320 (начиная с апреля 2013 г.)	330	299,9	– 21,9
Июль – сентябрь 2013 г.	257	1402 (начиная с июля 2013 г.)	350,5	320,4	– 63,4
Октябрь – декабрь 2013 г.	384	1480 (начиная с октября 2013 г.)	370	340,3	+ 43,8
Январь – март 2014 г.	401	1558 (начиная с января 2014 г.)	389,5	360,3	+ 40,8
Апрель – июнь 2014 г.	360	1638 (начиная с апреля 2014 г.)	409,5	379,8	– 19,8
Июль – сентябрь 2014 г.	335	---	---	399,5	– 64,5
Октябрь – декабрь 2014 г.	462	---	---	---	---
Январь – март 2015 г.	481	---	---	---	---

 

Рис. 21. Расчет по 4 точкам центрированных скользящих средних значений тренда для модели X= FT + S + Е.

 

Для каждого квартала мы имеем оценки сезонной компоненты, которые вклю­чают в себя ошибку или остаток. Прежде чем мы сможем использовать сезонную компоненту, нужно пройти два следующих этапа. Найдем средние значения сезонных оценок для каждого сезона года. Эта процедура позволит уменьшить некоторые значения ошибок. Наконец, скорректируем средние значения, увеличи­вая или уменьшая их на одно и то же число таким образом, чтобы общая их сумма была равна нулю. Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной компонен­ты в целом за год. Корректирующий фактор рассчитывается следующим образом: сумма оценок сезонных компонент делится на 4.

 

В последнем столбце таблицы (рис. 21) эти оценки записаны под соответствующими квартальными значениями. Сама проце­дура приведена в следующей таблице (рис. 22).

	Год	Номер квартала
		1	2	3	4
	2012	---	---	-58,4	+36,4
	2013	+44,4	-21,9	-63,4	+43,8
	2014	+40,8	-19,8	-64,5	---
Итого		+85,2	-41,7	-186,3	+80,2
Среднее значение		+ 85,2 ÷ 2	-41,7÷ 2	-186,3 ÷ 3	+80,2÷2
Оценка сезонной компоненты		+42,6	-20,8	-62,1	+40,1	Сумма: -0,2
Скорректированная сезонная компонента		+42,6	-20,7	-62,0	+40,1	Сумма: 0

 

Рис. 22. Расчет средних значений сезонной компоненты.

 

В данном случае производилось округление двух значений сезонной компоненты до ближайшего большего числа, а двух значении — до ближайшего меньшего числа таким образом, чтобы общая сумма была равна нулю.

 

Значения сезонной компоненты еще раз подтверждают наши выводы, сделан­ные на основе диаграммы (рис. 20). Объемы продаж за два зимних квартала превы­шают среднее трендовое значение приблизительно на 40 тыс. шт., а объемы продаж за два летних периода ниже средних на 21 и 62 тыс. шт. соответственно.

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогичная процедура применима при определении сезонной вариации за любой промежуток времени. Если, например, в качестве сезонов выступают дни недели, для элиминирования влияния ежедневной «сезонной компоненты» также рассчитывают скользящую среднюю, но уже не по четырем, а по семи точкам. Эта скользящая средняя представляет собой значение тренда в середине недели, т.е. в четверг; таким образом, необходимость в процедуре центрирования отпадает.