Метод экспоненциального сглаживания.

3)

При расчете прогноза методом экспоненциального сглаживания (exponential smoothing) учитывается отклонение предыдущего прогноза от реального показателя, а сам расчет проводится по следующей формуле:

 

Где x_k-1 — реальное значение показателя в момент времени t_k f_k — прогноз на момент времени t_k; α — постоянная сглаживания.

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Значение постоянной α, подчиненной условию 0 < α < 1, определяет степень сглаживания и обычно выбирается универсальным методом проб и ошибок.

Для расчетов вновь обратимся к исходному временному ряду, положив α = 0,2 и считая, что прогноз на понедельник равен 8. Тогда находим

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты расчетов приведены в таблице (рис. 14):

 

t	1	2	3	4	5	6	7	8
x	10	6	5	11	9	8	7	–
f	–	8,40	7,92	7,34	8,07	8,26	8,21	7,97

 

Рис. 14. Прогнозирование объема продаж.

 

 

На рисунке 15 дается графическое представление проведенных расчетов (сплошными линиями соединены реальные показатели, пунктирными — прогнозируемые).

 

10 -

-

8 -

-

6 -

-

4 -

-

2 -

-

 

1 2 3 4 5 6 7 8

Рис. 15. Сравнение реальных и прогнозируемых показателей.

 

Метод экспоненциального сглаживания разработан для рядов, состоящих из большого числа наблюдений, при увеличении числа наблюдений точность прогноза должна возрастать. При анализе коротких рядов метод не «срабатывает», так как часто не «успевает» отразить изменения при быстрых темпах роста. Если явление протекает в одних и тех же условиях, то точность прогноза определяется величиной периода предистории явления (базисного периода) и длительности прогнозируемого периода. Количественно это влияние можно оценить по имеющемуся ряду динамики, если одну часть ряда рассматривать как предисторию, а вторую — как прогнозируемую. Получив прогнозирующую функцию по базисному периоду, по второй части ряда можно оценить реальные ошибки прогноза. Изменяя число элементов рядов предистории и прогноза, получим зависимость точности прогноза от периода предистории и величины прогнозируемого периода.

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Следует иметь в виду, что при решении реальной задачи прогнозирования временной ряд складывается постепенно и реальное значение показателя на рассчитываемый момент времени нам заранее неизвестно. Прежде чем «заглянуть в будущее» посредством одного из указанных выше методов, обычно проводят расчеты с полным временным рядом, описывающим некоторый промежуток времени в прошлом. Это делается для того, чтобы подобрать подходящее значение N и сравнить результаты прогноза с реальными данными (метод простого скользящего среднего), подобрать подходящие значения N и весов и сравнить результаты прогноза с реальными данными (метод взвешенного скользящего среднего), подобрать подходящие значения постоянной сглаживания α и сравнить результаты прогноза с реальными данными (метод экспоненциального сглаживания).

Метод проецирования тренда.

Тренды могут быть описаны различными уравнениями — линейными, логарифмическими, степенными и т. д. Фактический тип тренда устанавливают на основе подбора его функциональной модели статистическими методами либо сглаживанием исходного временного ряда. Выделяют тренды восходящий (бычий), нисходящий (медвежий) и боковой (флэт). На графике часто рисуют линию тренда, которая на восходящем тренде соединяет две или более впадины цены (линия находится под графиком, визуально «поддерживая и подталкивая» график вверх), а на нисходящем тренде соединяет два или более пика цены (линия находится над графиком, визуально «ограничивая и придавливая» график вниз). Трендовые линии являются «линиями поддержки» (для восходящего тренда) или «линиями сопротивления» (для нисходящего тренда).

 

Основной идеей метода проецирования линейного тренда (trend projection) является построение прямой, которая «в среднем» наименее уклоняется от массива точек (ti, xi), i = 1,2,...,n, заданного временным рядом (рис. 16).

 

Эта прямая ищется в следующем виде:

x = at + b, (3)

 

где а и b — постоянные, подлежащие определению.

 

x

x=at+b

xi

 

x1

 

t1 t2 ti … tn t

 

Рис. 16. Метод проецирования тренда.

 

Чтобы найти коэффициенты а и b, поступают так: для каждого значения ti; переменной t, пользуясь формулой (3), вычисляют соответствующее значение переменной х, затем находят разность (at_i + b – x_i), которую затем возводят в квадрат (чтобы не думать о знаке):

(at_i + b – x_i)² (i =1, …, n) и, складывая, в итоге получают:

 

Функция φ (a, b) принимает минимальное значение в том случае, когда величины a и b удовлетворяют следующей линейной системе:

 

 

 

Эта система всегда имеет единственное решение.

 

Рассмотрим конкретный пример, вновь обратившись к заданному временному ряду (рис. 10).

ПРИМЕР.

 

Составим вспомогательную таблицу (рис. 17).

ti	xi	ti xi	ti^2
1	10		1
2	6		4
3	5		9
4	11		16
5	9		25
6	8		36
7	7		49
∑ ti = 28	∑ xi = 56	∑ ti xi = 223	∑ ti^2= 140

 

Рис. 17. Таблица для расчета коэффициентов уравнения тренда.

 

В этом случае система уравнений для отыскания a и b записывается в следующем виде:

28 a + 7 b = 56;

 

140 a + 28 b = 223.

Решая систему, получаем:

a = (– 1/28) ≈ - 0,04; b = 57/7 ≈ 8,14.

 

 

Тем самым уравнение искомого тренда имеет вид: x = – 0,04 t + 8,14.

Расчет показателя на следующий день проводится так:

 

 

Графическое изображение тренда представлено на рисунке 18.

11 -

10 -

-

8 -

-

6 -

-

4 -

-

2 -

-

 

1 2 3 4 5 6 7 8

Рис. 18. Метод проецирования тренда.

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Точность прогноза можно оценить при помощи коэффициента корреляции.

Приведенные методы далеко не исчерпывают многообразия методов анализа временных рядов, большинство которых опирается не на простой подсчет при помощи калькулятора, но на основательную аналитическую и компьютерную базу. Однако наша цель состоит в том, чтобы дать определенное рабочее представление об этом типе прогнозирования.

3. ТРЕНДОВЫЕ МОДЕЛИ, СОДЕРЖАЩИЕ СЕЗОННУЮ КОМПОНЕНТУ.

 

В большинстве случаев значения переменных характеризуют не только тренд. Часто они подвержены циклическим колебаниям. Если эти колебания повторяются в течение небольшого промежутка времени, то они называются сезонной вариа­цией. Колебания, повторяющиеся в течение более длительного промежутка време­ни, называются циклической вариацией.

 

Модель, содержащая сезонную компо­ненту, которая будет рассмотрена на этой лекции, основана на традиционном понятии сезона, однако, в более широком смысле термин «сезон» в прогнозирова­нии применим к любым систематическим колебаниям.

 

Например, при изучении товарооборота в течение недели под термином «сезон» подразумевается 1 день. При исследовании транспортных потоков дня или в течение недели также может использоваться модель с сезонной компонентой.

 

Любые колебания относительно тренда, построенного по годовым значениям некоторого показателя, можно опи­сать в виде модели с циклической компонентой. Не будем рассматривать примеры с циклическим фактором. Этот фактор можно выявить только по данным за длительные промежутки времени в 10, 15 или 20 лет, однако в данном случае колебания значений тренда могут быть вызваны воздействием общеэкономических факторов. Остановимся подробнее на моделировании более коротких промежутков времени, и не будем учитывать воздействие циклической компоненты.

 

Последняя предпосылка нашей модели также следует из метода линейной регрессии. Она связана со значением ошибки, или остатка, т.е. той части значения наблюдения, которую нельзя объяснить с помощью построенной модели.

 

ВЕЛИЧИНУ ОШИБОК МОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ В КАЧЕСТВЕ МЕРЫ СТЕПЕНИ СООТВЕТСТВИЯ МОДЕЛИ ИСХОДНЫМ ДАННЫМ.

 

Обычно применяют два вида таких мер.

1) C реднее абсолютное отклонение (mean absolute deviation — MAD) вычисляется по формуле:

 

 

где xi - фактические значения показателя, fi - прогнозные значения показателя.

 

Таким образом, MAD равно отношению суммы величин всех ошибок без учета их знака к общему числу наблюдений.

 

2) Среднеквадратическая ошибка (mean square error — MSE):

 

 

 

Таким образом, MSE представляет собой отношение суммы квадратов ошибок к общему числу наблюдений. Последняя из указанных мер резко возрастает при наличии высоких ошибок. В процессе анализа временного ряда мы стараемся определить все имеющиеся факторы и построить модель, которая соответствующим образом отражала бы их.

ПРИМЕР 2.

Предположим, что объем продаж продукции компании в течение последних 13 кварталов представлен в таблице (рис. 19).

 

Дата	Количество проданной продукции (тыс. шт.)
Январь – март 2012 года	239
Апрель – июнь 2012 года	201
Июль – сентябрь 2012 года	182
Октябрь – декабрь 2012 года	297
Январь – март 2013 года	324
Апрель – июнь 2013 года	278
Июль – сентябрь 2013 года	257
Октябрь – декабрь 2013 года	384
Январь – март 2014 года	401
Апрель – июнь 2014 года	360
Июль – сентябрь 2014 года	335
Октябрь – декабрь 2014 года	462
Январь – март 2015 года	481

 

 

Рис. 19. Количество продукции, проданной в течение последних 13 кварталов.

 

Необходимо проанализировать указанное множество данных и установить, можно ли обнаружить тенденцию. Если устойчивая тенденция действительно существует, данная модель будет использоваться нами для прогнозирования количества проданной продукции в следующие кварталы. Составим диаграмму временного ряда (рис. 20).

Объем продаж

500 -

400 -

300 -

200 -

100 -

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 Время

 

 

Рис. 20. Диаграмма временного ряда.

 

Моделью с аддитивной компонентой называется такая модель, в которой вариация значений переменной во времени наилучшим образом описывается через сложение отдельных компонент.

 

Предположив, что циклическая вариация не учитывается, модель фактических значений переменной X можно представить следующим образом: X = FT + S + Е, где X – фактическое значение, FТ – трендовое значение, S – сезонная вариация, E – ошибка.

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Приблизительно равная сезонная вариация (рис. 20) указывает на существование аддитивной модели.

 

РЕШЕНИЕ.

Будем использовать диаграмму моментного временного ряда. При построении диаграммы временного ряда полезно последовательно соединить точки отрезками, чтобы более четко увидеть любую тенденцию. Как следует из диаграммы (рис. 20), возможен возрастающий тренд, содержащий сезон­ные колебания. Объемы продаж в зимний период (1 и 4 кварталы) значительно выше, чем в летний (2 и 3 кварталы). Сезонная компонента практически не изменится в течение трех лет. Тренд показывает, что в целом объем продаж возрос примерно с 230 тыс. шт. в 2012 году до 390 тыс. шт. в 2014 году, однако увеличения сезонных колебаний не произошло. Этот факт свидетельствует в пользу модели с аддитивной компонентой.

 

Проведем анализ модели с аддитивной компонентой: X = FT +S + E. В моделях, как с аддитивной, так и с мультипликативной компонентой, общая процедура анализа примерно одинакова:

 

Шаг 1. Расчет значений сезонной компоненты.

 

Шаг 2. Вычитание сезонной компоненты из фактических значений. Этот процесс называется десезонализацией данных. Расчет тренда на основе получен­ных десезонализированных данных.

 

Шаг 3. Расчет ошибок как разности между фактическими и трендовыми значениями.

 

Шаг 4. Расчет среднего отклонения (MAD) или среднеквадратической ошиб­ки (MSE) для обоснования соответствия модели исходным данными или для выбора из множества моделей наилучшей.