Оба этих вектора имеют структуру

, (2.33)

где C - количество участков, имеющих по два расчетных сечения,

  D - количество участков, имеющих по одному расчетному сечению.

Следует заметить, что одно расчетное сечение может иметь не только участок, работающий на растяжение-сжатие, но и участок работающий на изгиб, если заранее известно, что в одном из крайних сечений момент всегда равен 0, и имеет смысл учитывать только ненулевую ординату эпюры моментов. При этом матрица податливости состоит из одного числа

                                                     .                               (2.34)

Процедура вычисления перемещения по формуле (2.32) составила алгоритм программы, находящейся в файле SETPEREM.EXE и написанной на языке программирования Turbo Pascal 6.0. Для работы программы должны быть предварительно заполнены файлы APR1.DAT и APR2.DAT, находящиеся в каталоге C:\PEREM.

Порядок работы с файлами описан в п.1.3.

В файле APR1.DAT в режиме EDIT в первой строке записывается имя или фамилия студента латинскими буквами, а в последующих строках - транспонированные векторы эпюр внутренних усилий от единичных силовых факторов, приложенных по направлениям искомых перемещений. Для того, чтобы получить, матрицу- столбец, элементы которого представляют перемещения различных сечений по заданным  направлениям (вектор перемещений), нужно в формуле (2.32) перед матрицей В поставить транспонированную матрицу влияния

                               ,                      (2.35)

где  - векторы эпюр внутренних усилий.

Таким образом, в программе предполагается вычисление вектора перемещений по формуле

                                                                                     (2.36)

В файле APR2.DAT в режиме EDIT записывается по группам следующая информация:

1) Массив коэффициентов  податливостей участков, то есть массив числовых множителей перед матрицами податливости участков в формулах (2.25), (2.27), (2.31), (2.34). Если участок работает на изгиб с двумя расчетными сечениями или с одним, то . Если участок работает на растяжение или сжатие, то ;

2) Массив чисел, каждое из которых соответствует числу расчетных сечений на участке системы (массив состоящий из 2 и 1);

3) Массив номеров участков, где действует равномерно распределенная нагрузка;

4) Массив значений стрелок эпюр f от действия равномерно распределенной нагрузки на соответствующих участках;

5) Транспонированный вектор эпюры моментов от нагрузки, вызывающей перемещения (без учета стрелок эпюр).

При записи исходной информации в файлы каждую группу целесообразно начинать с новой строки. При этом следует быть внимательным: эти файлы имеют текстовый тип, поддерживаемый языком Pascal, и каждая запись числа должна отделяться одним пробелом, а первое число в строке пишется без предшествующего пробела.

После того, как файлы исходных данных подготовлены, запускается программа в файле SETPEREM.EXE нажатием клавиши ENTER. Программа запрашивает о готовности исходной информации. Если файлы готовы, то нужно нажать клавишу Y, если нет, то N. При нажатии N программа выводит на экран структуру информации, записываемой в указанных файлах. После нажатия ENTER происходит возврат в окна Нортона.

Если нажат ответ Y, то программа запрашивает информацию о размерности в диалоговом режиме следующим образом:

число искомых перемещений - в ответ вводится число ;

число участков системы - в ответ вводится число r;

число сечений - в ответ вводится число h;

число участков с равномерно распределенной нагрузкой - вводится число st;

число участков с двумя расчетными сечениями - вводится С;

число участков с одним расчетным сечением - вводится D.

После работы программа открывает в каталоге C:\PEREM файл....RES, в который выводятся искомый вектор перемещений. Вместо многоточия название файла будет содержать имя или фамилию студента, введенную ранее в первую строку файла APR1.DAT. Содержимое файла-результата можно распечатать, нажав функциональную клавишу F9 в режиме EDIT.

 

ПРИМЕР № 3

Вновь определим перемещение  для рамы. Будем учитывать только изгибные деформации.

В окне Нортона подводим подсветку к имени файла APR1.DAT и нажимаем клавишу F4 - вызов редактора EDIT. На экране появляется изображение содержимого файла в символьном виде.

В файле APR1.DAT записываем фамилию и далее транспонированный вектор эпюры моментов от единичной силы

petrov

0 0 0 4 4 0

Нажимаем клавишу F2 - запись файла на жесткий диск. Нажимаем клавишу F10 - выход из режима EDIT. На экране снова окна Нортона.

Коэффициенты податливостей участков равны

Вычислим перемещение с точностью до множителя .

В окне Нортона подводим подсветку к имени файла APR2.DAT и нажимаем клавишу F4 - вызов редактора EDIT. На экране появляется изображение содержимого файла в символьном виде.

В файле APR2.DAT запишем

0.333333 0.333333 0.333333

2 2 2          - все участки с двумя сечениями

2                    - номер участка с q

8                       - величина стрелки

0 0 0 32 32 0 - вектор эпюры от нагрузки, вызывающей перемещение.

Напомним, что в файлах должны быть только символы в виде цифр, точек и пробелов, а указанные выше пояснения должны отсутствовать.

Нажимаем клавишу F2 - запись файла на жесткий диск. Нажимаем клавишу F10 - выход из режима EDIT. На экране снова окна Нортона.

Подводим подсветку к имени файла SETPEREM.EXE и нажимаем клавишу ENTER.

Программа начинает работать и запрашивает: “Файлы c:\perem\apr1.dat и c:\perem\apr2.dat готовы Y/N?“. Мы отвечаем “Y”.

После этого происходит следующий диалог между нами и программой:

число искомых перемещений - в ответ вводится число 1;

число участков системы - в ответ вводится число 3;

число сечений - в ответ вводится число 6;

число участков с равномерно распределенной нагрузкой - вводится число 1;

число участков с двумя расчетными сечениями - вводится 3;

число участков с одним расчетным сечением - вводится 0.

После работы программа открывает в каталоге C:\PEREM файл petrov.res, в который выводятся искомое перемещение. Нажав клавишу F4, мы увидим

petrov

delta(1)=1.919998E+02.

    Содержимое файла-результата можно распечатать, нажав функциональную клавишу F9 в режиме EDIT.

Результат совпал с предыдущим, так как мантиссу 1.919998 нужно умножить на 10 в степени, равной порядку 2 - получится 191.9998  192 с точностью 0.0001%.

ПРИМЕР № 4

Для рамы определим горизонтальное перемещение точки К и вертикальное перемещение точки С. Проводим подготовку схемы к расчету в матричной форме. Определяем коэффициенты податливостей участков. При этом учитываем, что четыре первых из них работают на изгиб, а пятый - на растяжение/сжатие. Будем определять перемещения с точностью до множителя .

Сначала построим эпюру внутренних факторов от заданной нагрузки, вызывающей перемещения. Для этого определим опорные реакции.

 

 

В файле c:\perem\apr2.dat запишем

0.333333 0.333333 0.333333 0.333333 32

2 2 2 2 1

3

-4

0 16 16 40 40 24 24 0 -12

 

Приложим поочередно единичные силы в точках К и С по направлениям искомых перемещений и построим эпюры внутренних силовых факторов.

В файле c:\perem\apr1.dat запишем идентификатор пользователя и соответствующие транспонированные векторы

Kuzmin

0 0 0 2 2 2 2 0 -1

0 4 4 8 8 4 4 0 -2

Запускаем программу, находящуюся в файле SETPEREM.EXE и проводим с ней следующий диалог:

число искомых перемещений - в ответ вводим число 2;

число участков системы - в ответ вводится число 5;

число сечений - 9;

число участков с равномерно распределенной нагрузкой - 1;

число участков с двумя расчетными сечениями - 4;

число участков с одним расчетным сечением -1.

В процессе работы программа открывает файл c:\perem\kuzmin.res, в который выводятся результаты расчета. Подведя подсветку в окне Нортона к соответствующей строке и нажав клавишу F4, мы увидим

                       Kuzmin

                       delta(1)=9.81333E+02

                       delta(2)=2.35733E+03.

Таким образом, горизонтальное перемещение точки К равно 981.333/ , а вертикальная составляющая перемещения точки С равна 2357.33/ .

Наличие идентификатора пользователя удобно при проведении занятий в зале с несколькими ПЭВМ, работающими в сетевом режиме.

ПРИМЕР №5

Определим вертикальную составляющую перемещения точки С в трехшарнирной арке. Сначала проведем вычисление с учетом только изгибных деформаций, а затем кроме изгиба учтем и деформации сжатия.

Первый вариант.

Разбиваем схему на четыре участка, работающие на изгиб и строим эпюры моментов от нагрузки и от единичной силы, приложенной по направлению искомого перемещения.

В файле c:\perem\apr1.dat записываем

name

0 -0.2679494 -0.2679494 0 0 -0.2679494 -0.2679494 0

В файле c:\perem\apr2.dat записываем

0.4714 0.3849 0.3849 0.4714

2 2 2 2

0 3.4641 3.4641 0 0 -0.53589 -0.53589 0

После запуска программа SETPEREM.EXE запрашивает:

число искомых перемещений - 1;

число участков системы - 4;

число сечений - 8;

число участков с равномерно распределенной нагрузкой - 0;

число участков с двумя расчетными сечениями - 4;

число участков с одним расчетным сечением - 0.

Результат содержится в файле c:\perem\name.res в виде:

name

delta(1)=-1.343722E+00.

Таким образом, по первому варианту расчета получается, что точка С имеет вертикальную составляющую перемещения, направленную вверх и равную 1.34372/EJ.

 

Второй вариант.

Отмечаем на схеме дополнительные участки, работающие на растяжение/сжатие.

Таких участков четыре. По существу один и тот же стержень арки учитывается как участок с двумя сечениями, в которых учитываются изгибающие моменты, и как участок с одним сечением, в котором учитывается нормальная сила.

Вычисляем ординаты эпюр нормальных сил для двух состояний системы.

В файле c:\perem\apr1.dat записываем:

name

0 -0.2679494 -0.2679494 0 0 -0.2679494 -0.2679494 0

-0.8018335 -1 -1 -0.8018335

В файле c:\perem\apr2.dat записываем

0.4714 0.3849 0.3849 0.4714 0.7071 0.57735 0.57735 0.7071

2 2 2 2 1 1 1 1

0 3.4641 3.4641 0 0 -0.53589 -0.53589 0

-3.017867 -0.5980769 -1.5980769 -1.603667

После запуска программа SETPEREM.EXE запрашивает:

число искомых перемещений - 1;

число участков системы - 8;

число сечений - 12;

число участков с равномерно распределенной нагрузкой - 0;

число участков с двумя расчетными сечениями - 4;

число участков с одним расчетным сечением - 4.

Результат содержится в файле c:\perem\name.res в виде:

name

delta(1)= 6.43277E+00.

Таким образом, по второму варианту расчета получается, что точка С имеет вертикальную составляющую перемещения, направленную вниз и равную 6.43277/EJ.

Сопоставление результатов показывает, что в арочных системах (особенно пологих) необходимо при определении перемещений учитывать, кроме изгибных, деформации растяжения-сжатия.

 

2.6. Теоремы о взаимности работ и взаимности перемещений

Вернемся к формуле (2.13) для возможной работы  сил в состоянии i на возможных перемещениях, вызванных силами всостоянии j. Можно заметить, что если переставить индексы и вычислить  по (2.13), то получим ту же величину.

Таким образом,           = .                                     (2.37)

Этот результат соответствует так называемой теореме Бетти - теореме о взаимности работ: возможная работа сил в состоянии i на возможных перемещениях, вызванных силами в состоянии j, равна возможной работе сил в состоянии j на возможных перемещениях, вызванных силами в состоянии i. Эта теорема справедлива для упругих систем при малых деформациях. Покажем действие этой теоремы на примере рамы, в двух случаях нагружения.

    В соответствии с (2.37) можем написать равенство

                                                                    (2.38)

Если представим, что  и  численно равны, то получим, что

                                                                                          (2.39)

Это соответствует теореме Максвелла о взаимности перемещений: перемещение по первому направлению от силового фактора, приложенного по второму направлению, численно равно перемещению по второму направлению от силового фактора, приложенного по первому направлению, если оба силовых фактора численно равны. Важно подчеркнуть, что в (2.39) соблюдается именно численное равенство. Физический смысл перемещений может быть совершенно различен. - прогиб левой консоли в метрах, а - угол поворота сечения у правой опоры, выраженный в радианах.

Далее очень часто будут встречаться перемещения, вызванные единичными силовыми факторами. Такие перемещения будут обозначаться малой буквой  с двумя индексами и называться “единичными”. Тогда вместо (2.39) получим теорему о взаимности единичных перемещений

                                                                                              (2.40)

 

2.7. Теорема Клайперона

В общем случае, при действии нескольких сил , ,...  действительную работу внешних сил можно вычислить по формуле (2.4)

                                              . 

Здесь   - величина перемещения точки приложения силы P_i, совпадающего с направлением этой силы. Это перемещение возникает в результате совместного действия всех приложенных сил

                                                   (2.41)

 Для простоты докажем (2.4) для случая двух сил.

                                                                           (2.42)

                                                                                    (2.43)

Представим, что сначала действует сила Р ₁, а затем сила Р ₂. При этом, в силу малости перемещений по сравнению с размерами стержневой системы, можно считать, что сила Р ₂ приложена к недеформированной системе.

    Сначала первая сила совершает работу

                                                                               (2.44)

Затем вторая сила совершает работу на вызванном ею перемещении , а сила Р ₁ при этом совершает дополнительную работу на перемещении , вызванном второй силой

                                                                          (2.45)

Таким образом, работа двух сил равна

                            .      (2.46)

Если рассматривать процесс нагружения в противоположном порядке (сначала вторая сила, а затем первая), совершенная работа будет вычисляться по формуле

                            .     (2.47)

Величина работы не зависит от порядка приложения сил, так как в силу теоремы о взаимности работ

                                                                       (2.48)

Поэтому второе слагаемое в (2.46) можно представить

                                       .              (2.49)

Подставляя (2.49) в (2.46), группируя слагаемые, относящиеся к каждой силе и учитывая (2.42)и (2.43), получим, что

                                                               (2.50)

  Таким образом, теорема Клайперона доказана.