Ферм со сложными шпренгелями

      Построение линий влияния усилий в стержнях ферм со сложными шпренгелями связано с незначительными затруднениями, обусловленными конструкциями дополнительных фермочек-шпренгелей.

Рассмотрим построение линий влияния усилий в стержнях шпренгельной фермы, содержащей сложные одноярусные и двухъярусные шпренгели.

Построение линии влияния усилия в стержне О₂. Стержень О₂ является элементом третьей категории и принадлежит как основной ферме, так и сложному одноярусному шпренгелю. Построение линии усилия в стержне О₂ не вызывает особых затруднений и может быть осуществлено рассмотренными ранее двумя способами.

Первым способом с использованием формулы (3), то есть линия влияния усилия О₂ строится путём сложения линии влияния О^о₂ с линией влияния усилия О^ш₂. Построение линии влияния усилия О^о₂ осуществляется по способу вырезания узлов. Из равновесия узла 1  имеем

åР_n-n= 0, R_Acosa + O^o₂sina = 0, O^o₂ = - R_Actga, ctga = 3d/H.

То есть, линия влияния усилия О⁰₂ подобна линии влияния реакции R_A левой опоры фермы с коэффициентом подобия, равным -ctga. Построение линии влияния усилия О^ш₂ осуществляется по способу моментной точки с использованием сечения IV-IV в дополнительной фермочке-шпренгеле, моментной точкой является узел 2¢). Из равновесия левой части разрезанной фермочки-шпренгеля имеем åM_2’ = 0, R^ш₁d + О^ш₂Н/3 = 0, О^ш₂ = - (3d/H)R^ш₁.

То есть, линия влияния усилия О^ш₂ подобна линии влияния опорной реакции R^ш₁ с коэффициентом подобия, равным –3d/H. Складывая ординаты линий влияния усилий О^о₂ и О^ш₂, получаем линию влияния усилия О₂.

Вторым способом линия влияния усилия О₂ строится непосредственно из заданной сложной шпренгельной фермы по способу моментной точки с использованием сечения III – III, моментной точкой является узел 2¢) из условия равновесия левой части рассечённой фермы, когда единичный груз расположен на правой части фермы, то есть правее разрезанной панели 2 – 3, имеем:

åM₂¢= 0; R_Ad + O₂H/3 = 0; O₂ = -(3d/H)R_A.

То есть, линия влияния усилия О₂ подобна линии влияния реакции R_A левой опоры фермы c коэффициентом подобия, равным –3d/H. Для построения линии влияния усилия О₂ откладываем от нулевой линии вниз под левой опорой фермы отрезок, равный –3d/H, и проводим правую ветвь линии влияния от правой опоры до узла 2¢, то есть до моментной точки. От моментной точки проводим левую ветвь линии влияния.

Построение линии влияния усилия в стержне D ₆. Стержень D₆ является элементом третьей категории. Построение линии влияния усилия D₆ может быть осуществлено только по первому способу с использованием соотношения D₆ = D^o₆ + D^ш₆,

так как построение линии влияния усилия D₆ непосредственно в заданной шпренгельной ферме по второму способу связано с очень большими вычислениями.

Построение линии влияния усилия D^o₆ осуществлено по способу проекций с использованием разреза II – II в основной ферме. Из равновесия левой части рассечённой фермы имеем:

åY = 0, R₁ – D^o₆cosb = 0, D^o₆ = R₁/cosb, tgb = H/(3d).

Из равновесия правой части рассечённой фермы имеем:

åY = 0, R₁₃ + D^o₆ cosb = 0, D^o₆ = - R₁₃/cosb.

В первом случае линия влияния усилия D⁰₆ подобна линии влияния реакции R₁ левой опоры фермы с коэффициентом подобия, равным 1/cosb, и строится правая ветвь линии влияния. Во втором случае линия влияния D⁰₆ подобна линии влияния реакции R₁₃ правой опоры фермы с коэффициентом подобия, равным –1/cosb, и строится левая ветвь линии влияния. В пределах разрезанной панели 4 – 7 проводится передаточная прямая.

Построение линии влияния усилия D^ш₆ осуществлено по способу вырезания узлов при рассмотрении равновесия узла 5¢ двухъярусного шпренгеля (åP_nn=0).

V^ш₄cosj + D^ш₆cosg = 0, D^ш₆ = - V^ш₄(cosj/cosg).

Полученное равенство позволяет сделать вывод, что линия влияния усилия D^ш₆ подобна линии влияния усилия V^ш₄ с коэффициентом подобия, равным - cosj/cosg. Значения углов g и j находим из соотношений

j = 90 - y, tgy = 3d/2H, g = j - b.

Линия влияния усилияV^ш₄ построена по способу вырезания узлов при рассмотрении равновесия узла 5. Сложение ординат линий влияния усилий D⁰₆ и D^ш₆ в характерных точках и даёт нам линию влияния усилия в стержне D₆ сложной шпренгельной фермы.

  Построение линии влияния усилия в стержне D ₇. Стержень D₇ является элементом третьей категории. Воспользуемся тем обстоятельством, что D^o₇ и D^o₆ являются одним и тем же стержнем. Построение линии влияния D₇ выполним вторым способом и воспользуемся разрезом V-V в шпренгельной ферме и линией влияния усилия D^о₇ (см. линию влияния усилия D^о₆. Так как сечением V-V будет разрезана панель 6–7, то линию влияния усилия D₇ получим, продолжая левую ветвь линии влияния усилия D^о₇ до узла 6, а в пределах панели 6-7 проведём передаточную прямую.

  Построение линии влияния усилия в стержне V ₃. Стержень V₃ является элементом 4-й категории. Построение линии влияния усилия V₃ осуществлено по способу проекций с использованием разреза I-I в основной ферме. При этом следует иметь в виду, что при перемещении единичного груза по верхнему поясу разрезанной панелью фермы является панель 1–4, а при перемещении единичного груза по нижнему поясу разрезанной панелью будет панель 4¢- 7¢. Из условия равновесия åY = 0 (сумма проекций всех сил на вертикальную ось Y) получаем:

- из равновесия левой осечённой части фермы R₁ + V^o₃ = 0, V^o₃ = - R₁,

- из равновесия правой отсечённой части фермы R₁₃ – V^o₃ = 0, V^o₃ = R₁₃.

В первом случае линия усилия V⁰₃ подобна линии влияния реакции R₁ левой опоры фермы с коэффициентом подобия, равным –1. Во втором случае линия влияния усилия V⁰₃ полностью совпадает с линией влияния реакции R₁₃ правой опоры фермы. Полученные результаты правомочны как при движении по верхнему поясу, так и при движении по нижнему поясу. Построение линии влияния усилия V₃ осуществлено при движении по верхнему поясу с учётом передачи давления двухъярусными шпренгелями на нижний пояс.

      Рассмотрим шпренгельную ферму. Особенностью данной фермы является то обстоятельство, что в панель основной фермы встроены совместно одноярусный и двухъярусный шпренгели. Такое сочетание шпренгелей оказывает определённое влияние на вычисление усилий и построение линий влияния усилий в стержнях фермы. В этой ферме отсутствуют элементы первой категории.

Проведём кинематический анализ фермочки-шпренгеля на предмет, является ли этот шпренгель геометрически неизменяемым? Для этого необходимо выполнить проверку соблюдения фермочкой-шпренгелем ана-литического и геометрического признаков сооружения.

Проверяем выполнение аналитического признака сооружения. Для ферм этот признак проверяется по формуле: W = 2У – С,

где У – число узлов в ферме,

С – число внутренних и опорных связей.

Для рассматриваемого шпренгеля У=8, С=16. Следовательно, W=2*8-16=0. То есть, аналитический признак сооружения выполняется.

Теперь проверяем выполнение геометрического признака сооружения, то есть, проверяем геометрическую структуру формирования шпренгеля на предмет его геометрической неизменяемости (не является ли шпренгель механизмом?). Рассматриваемую фермочку-шпренгель можно представить как три жёстких диска: 1-й диск – опорные узлы 1, 1¢, 4, 4¢ и стержень 1¢-4¢, представляющие основную ферму, 2-й диск – треугольник 1-2-2¢, 3-й диск – треугольник 3-4-3¢. Эти треугольники являются простейшими неизменяемыми формами. Итак, мы имеем три диска, которые присоединены между собой попарно двумя стержнями, точки пересечения которых не лежат на одной прямой (точки 1, 1¢ и 4¢). Такое формирование фермочки-шпренгеля позволяет сделать вывод, что рассматриваемый шпренгель геометрически неизменяем. Следовательно, геометрический признак сооружения также выполняется.

Так как оба признака сооружения выполняются, то рассматриваемый шпренгель является сооружением.

Построение линии влияния усилия в стержне О₂. Стержень О₂ является элементом третьей категории, так как он принадлежит как основной ферме, так и одноярусному шпренгелю. Для построения линии влияния О₂ воспользуемся сечением I-I в заданной шпренгельной ферме и способом моментной точки. Моментной точкой для стержня О₂ является узел 4¢, а разрезанной панелью будет панель 2-3. Из условия равновесия åМ₄¢ = 0 (суммы моментов всех сил относительно узла 4¢) имеем:

 при рассмотрении равновесия левой части фермы

R_л 3d + O₂ H = 0; O₂ = - (3d/H)R_л,

при рассмотрении равновесия правой части фермы

R_пр9d + O₂H = 0; O₂ = - (9d/H)R_пр.

По полученным результатам делается вывод, что в первом случае линия влияния усилия О₂ подобна линии влияния левой опорной реакции R_л, с коэффициентом подобия – 3d/H, а во втором случае линия влияния усилия О₂ подобна линии влияния правой опорной реакции R_пр, с коэффициентом подобия – 9d/H. Правая ветвь линии влияния проводится до узла 3, левая ветвь линии влияния – до узла 2, а в пределах панели 2-3 проводится передаточная прямая.

Построение линии влияния усилия в стержне D ₁. Стержень D₁ является элементом третьей категории, так как он принадлежит одновременно основной ферме и одноярусному шпренгелю. Построение линии влияния усилия в стержне D₁ осуществляется с использованием формулы (3), то есть по формуле

D₁ = D⁰₁ + D^ш₁.

Построение линии влияния D⁰₁ по способу моментной точки с использованием сечения Ш–Ш в основной ферме. Моментной точкой является узел 7, разрезанной панелью будет панель 1-4. Из условия равновесия åМ₇ = 0 (суммы моментов всех сил относительно узла 7) получено:

при рассмотрении равновесия левой части фермы  

R_л 6d - D⁰₁r_D = 0; D⁰₁ = (6d/r_D)R_л; r_D = 6dsina,

при рассмотрении равновесия правой части фермы

R_пр6d - D⁰₁r_D = 0; D⁰₁ = (6d/r_D)R_пр; tga = H/3d.

Правая ветвь линии влияния усилия проведена от правой опоры до узла 4, левая ветвь линии влияния выродилась в точку под узлом 1, а в пределах разрезанной панели 1-4 проведена передаточная прямая.

Для построения линии влияния усилия D^ш₁ применяется способ вырезания узлов, рассматривается равновесие опорного узла 1 сложного шпренгеля, но предварительно необходимо иметь линию влияния реакции левой верхней опоры сложного шпренгеля R^в_л. Поэтому предварительно рассмотрим построение линий влияния реакций четырёх опор сложного шпренгеля. Построение линий влияния опорных реакций шпренгеля осуществляется на основании следующих вычислений.

При перемещении единичного груза Р=1 по верхнему поясу шпренгеля слева направо он последовательно будет находиться в узлах 1, 2, 3 и 4.

Когда единичный груз будет находиться в узле 1, то R^в_л = 1, R^н_л = R^в_пр = R^н_пр = 0.

Когда единичный груз будет находиться в узле 2, то R^в_л = R^в_пр = 0, R^н_л = 2/3, R^н_пР=1/3 за счёт передачи двухъярусным шпренгелем давления от груза с верхнего пояса на нижний пояс в узлы 1¢ и 4¢.

Когда единичный груз будет находиться в узле 3, то R^в_л = 1/3, R^в_пр = 2/3, R^н_л = R^н_пр = 0, так как начинает работать одноярусный шпренгель и нагрузка остается на верхнем поясе в узлах 1 и 4.

Когда единичный груз перейдёт в узел 4, то R^в_л = R^н_л = R^н_пр = 0, R^в_пР=1.

  По полученным значениям опорных реакций сложного шпренгеля построены линии влияния этих опорных реакций, приведённые на рисунках 8,б,в,г,д.

Переходим к построению линии влияния усилия D^ш₁. Из равновесия узла 1 åY = 0 (суммы проекций всех сил на вертикальную ось) имеем:

R^в_л – D^ш₁sina = 0; D^ш₁ = R^в_л/sina,

то есть линия влияния усилия D^ш₁ подобна линии влияния опорной реакции R^в_л с коэффициентом подобия, равным 1/sina.

    Складывая соответствующие ординаты линий влияния усилий D⁰₁ и D^ш₁, получаем линию влияния усилия D₁.

   Построение линии влияния усилия в стержне D ₄. Стержень D₄ является элементом второй категории, то есть, согласно формулы (2), имеет место равенство D₄ = D^ш₄, то есть линия влияния усилия D₄ совпадает с линией влияния усилия D^ш₄, а построение линии влияния усилия D₄  сводится к построению линии влияния усилия D^ш₄. Построение линии влияния усилия D^ш₄ осуществляется по способу вырезания узлов. Рассматривается равновесие опорного узла 4 сложного шпренгеля. Из условия равновесия åY = 0 (суммы проекций всех сил на вертикальную ось) имеем: R^в_пр - D^ш₄sinb = 0; D^ш₄ = R^в_пр/sinb,

то есть линия влияния усилия D^ш₄, а следовательно и линия влияния усилия D₄, подобна линии влияния опорной реакции R^в_пр с коэффициентом подобия, равным 1/sinb. При расположении единичного груза на опорой в узле 4 ордината линии влияния D₄ равна нулю.

Построение линии влияния усилия в стержне D ₃. Стержень D₃ является элементом третьей категории, так как принадлежит одновременно основной ферме и двухъярусному шпренгелю. Построение линии влияния усилия D₃ осуществляется с использованием формулы (3), то есть по формуле

D₃ = D⁰₃ + D^ш₃.

Из основной фермы видно, что D⁰₁ и D⁰₃ один и тот же стержень. Следовательно, линия влияния усилия D⁰₃ и линия влияния усилия D⁰₁ одинаковы.

Построение линии влияния усилия D^ш₃ осуществляется по способу вырезания узлов при рассмотрении равновесия опорного узла 1¢ сложного шпренгеля. Из условия равновесия åР_nn = 0 (суммы проекций всех сил на направление, перпендикулярное стержню U^ш) получаем

D^ш₃cosg + R^н_прсosa = 0; D^ш₃ = - R^н_прcosa/cosg,

то есть линия влияния усилия D^ш₃ подобна линии влияния опорной реакции R^н_пр с коэффициентом подобия, равным -cosa/cosg.

Построение линии влияния в стержне V ₄. Стержень V₄ является элементом четвёртой категории. Построение линии влияния усилия V₄ осуществляется способом проекций с использованием сечения IV-IV в основной ферме. При перемещении единичного груза по верхнему грузовому поясу разрезанной панелью будет панель 1-4, а при перемещении груза по нижнему поясу разрезанной панелью является панель 4¢-7¢. Из условия равновесия åY = 0 (суммы проекций всех сил на вертикальную ось) имеем:

- при рассмотрении равновесия левой части R_л + V₄ = 0; V₄ = - R_л,

- при рассмотрении равновесия правой части V₄ – R_пр = 0; V₄ = R_пр.

Полученные равенства позволяют сделать вывод, что в первом случае линия влияния усилия V₄ подобна линии влияния реакции левой опоры фермы R_л с коэффициентом подобия, равным –1. Под левой опорой фермы откладывается вниз от нулевой линии отрезок, равный единице, и проводится правая ветвь линии влияния до узла 7 при езде понизу и до узла 4 при езде поверху. Во втором случае линия влияния усилия V₄ совпадает с линией влияния реакции правой опоры фермы R_пр. Под правой опорой фермы откладывается вверх от нулевой линии отрезок, равный единице, и проводится левая ветвь линии влияния до узла 4 при езде понизу, а при езде поверху левая ветвь линии влияния ограничивается точкой в узле 1. В пределах разрезанных панелей проводятся передаточные прямые: 1-4¢ при езде поверху и 4-7 при езде понизу (см. пунктирные линии). Построение линии влияния усилия V₄ осуществлено на основании следующих рассуждений. При перемещении единичного груза от узла 1 к узлу 2 фермы происходит передача давления от груза за счёт двухъярусного шпренгеля с верхнего пояса на узлы 1¢ и 4¢ нижнего пояса, это будет участок 1-2 линии влияния при езде понизу. При дальнейшем перемещении единичного груза от узла 2 к узлу 3 и дальше к узлу 4 фермы за счёт одноярусного шпренгеля происходит возвращение давления от груза на верхний пояс, между узлами 2 и 3 фермы проводится передаточная прямая 2-3, а от узла 3 к узлу 4 фермы участок линии влияния 3-4 при езде поверху. При движении груза от узла 4 к узлу 5 фермы вновь двухъярусный шпренгель передаёт давление с верхнего грузового пояса на узлы 5¢ и 7¢ нижнего пояса (см. прямую 4-5 на линии влияния). При дальнейшем движении груза от узла 5 фермы одноярусный шпренгель возвращает давление на верхний пояс (прямая 5-7 линии влияния), а при движении от узла 7 до узла 13 фермы вид линии влияния усилия не зависит от того по какому поясу происходит движение (см. прямую 7-13 линии влияния).

Построение линии влияния усилия в стержне D ₆. Стержень D₆ принадлежит двухъярусному шпренгелю и является элементом второй категории. Применим способ вырезания узлов и рассмотрим равновесие узла 1¢ сложного шпренгеля. Из условия равновесия узла 1¢ (суммы проекций всех сил на направление, перпендикулярное стержню U^ш, åР_nn = 0 имеем:

                         R^н_лcosa + D^ш₆cos(a + j) = 0; D^ш₆ = - R^н_лcosa/cos(a + j);

                          tgj = 3d/5H.

     Из полученных результатов делается вывод, что линия влияния усилия D^ш₆ подобна линии влияния опорной реакции R^н_л с коэффициентом подобия, равным - cosa/cos(a + j).

 

ПРИМЕР РАСЧЁТА ФЕРМЫ НА ПОСТОЯННУЮ И ПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ

Для фермы требуется:

1. От собственного веса фермы q = 5кН/м, равномерно распределённого по всей длине, определить аналитически усилия в стержнях О₄, D₃, U₃, D₄, V₄ и V₅. Длина панели d = 6м., высота фермы равна 4Н/3, где Н = 1.5d = 9.0м.

2. Построить линии влияния усилий в указанных стержнях фермы с определениемчисловых значений характерных ординат.

3. Линии влияния усилий загрузить постоянной нагрузкой от собственного веса фермы и сравнить с результатом, полученным в пункте 1.

4. Треугольную линию влияния усилия в одном из стержней фермы загрузить нагрузкой от железнодорожного подвижного состава класса К и эквивалентной нагрузкой класса К (табл. 1). Принять К = 10.

Решение

  Грузовым поясом фермы является верхний пояс. Распределяем распределённую нагрузку q на узлы верхнего пояса фермы.

P = q*d = 5x6 = 30кН.

Основная  ферма, с учётом наличия двухъярусных шпренгелей часть распределённой нагрузки приходится на узлы нижнего пояса. В 1-й и 6-й панелях основной фермы находятся одноярусные шпренгели, а в остальных панелях – двухъярусные шпренгели.

 

Таблица 1

Длина линии влияния l, м            Эквивалентные нагрузки q_эк, кН/м                                            пути при классе К = 1                            a = 0                      a = 5.0

                  1                                          50.00                       50.00

                  5                                           20.77                      18.17

                10                                           17.81                      15.58

                20                                           15.05                      13.17

                30                                           13.36                      11.69

                40                                           12.25                      10.72

                50                                           11.51                      10.07

                60                                           11.01                      10.10

                80                                           10.46                      10.00

              100                                           10.20                      10.00

              120                                           10.09                      10.00

              140                                           10.04                      10.00

Примечание: a = а/l - положение вершины линии влияния; а – проекция наименьшего расстояния от вершины линии влияния до конца линии влияния, м.

     

Пункт 1. Определение усилий в стержнях фермы.

Определение опорных реакций фермы R_л и R_пр. Из уравнений равновесия åМ₁ = 0 и åY = 0 имеем: q*L²/2 - R_пр*L = 0; R_л – q*L + R_пр = 0;

R_пр = q*L/2 = 5*72/2 = 180кН; R_л = q*L – R_пр =5*72 – 180 = 180кН.

    Определение усилия в стержне О₄. Стержень О₄ является элементом первой категории, то есть О₄ = О⁰₄.

Следовательно, величину усилия О₄ можно определить как непосредственно из шпренгельной фермы с использованием сечения I-I, так и из основной фермы с использованием разреза. Для определения усилия О₄ воспользуемся способом моментной точки и рассмотрим равновесие левой отсеченной части фермы. Моментной точкой для стержня О₄ является узел 5¢. Из условия равновесия åМ_5¢ = 0 имеем: R_л*4d –4d*P/2 –3d*P – 2d*P –d*P + 4H*O₄/3= 0;

так как 4H/3 = 2d, то 4R_л – 8P + 2O₄ = 0; O₄ = 4P – 2R_л = 4*30 – 2*180 = - 240кН < 0, стержень О₄ сжат.

Определение усилия в стержне U3. Стержень U3 является элементом третьей категории, то есть U₃ = U⁰₃ + U^ш₃.

Используя, определяем усилие U₃ по способу моментной точки (моментной точкой для стержня U₃ является узел 3).

åM₃ = 0; R_л*2d – 2d*P/2 – Р*d + P*d – U₃*r_U = 0; U₃ = d*(2R_л – P)/r_U.

Определяем плечо r_U. Находим положение точки К, точки пересечения стержней O₄ и U₃. Из подобия треугольников имеем отношение

            (а + 2d)/(a + 4d) = H/(4H/3) = ¾; a = 4d; r_U = Hcosa;

               tga = H/(a + 2d) = 1.5d/6d = 0.25; cosa = 1/ = 0.97

Итак: r_U = 1.5dcosa = 9*0.97 = 8.73; U3 = 6(2*180 – 30)/8.73 = 226.8кН > 0;

стержень U₃ растянут.

Определение усилия в стержне D₃. Стержень D₃ является элементом третьей категории. Применяем способ моментной точки с использованием разреза I-I. Моментной точкой является точка пересечения стержней О₄ и U₃ (точка К).

åМ_к = 0; R_л4d – 4dP/2 – 5dP –6dP – 7dP –D₃r_D = 0; D₃ = (4R_л –20P)d/r_D.

Плечо для D₃: r_D = 6dsinb; tgb = (4H/3)/2d = 1; tgb = 1; b = 45^o;

D₃ = (4R_л – 20P)/6sinb = (4x180 – 20x30)/6x0.707 = 28.3кН > 0.

Стержень D₃ растянут.

Определение усилия в стержне V₅. Стержень V₅ является элементом второй категории, то есть   V5 = V^ш₅.

  Рассмотрим двухъярусный шпренгель из третьей панели основной фермы. Применяем способ вырезания узлов, рассматривая равновесие узла 6.   åY = 0; P + V^ш₅ = 0; V^ш₅ = - P = - 30кН.

Стержень V₅ сжат.

  Определение усилия в стержне V₄. Стержень V₄ является элементом четвёртой категории. Усилие в стержне V₄ определяем с использованием разреза Ш-Ш в основной ферме, распределив соответствующим образом внешнюю нагрузку по узлам фермы. Применяем способ проекций, рассматривая равновесие левой части рассечённой фермы.

åY = 0; R_л + V₄ –4P = 0; V₄ = 4P – R_л = 4*30 – 180 = - 60кН.

Стержень V₄ сжат.

  Пункт 2. Построение линий влияния усилий в стержнях фермы.

   Построение линии влияния усилия в стержне О₄. Стержень О₄ является элементом первой категории, то есть О₄ = О⁰₄. Рассматривается основная ферма и используется разрез II-II.

   1-й случай. Единичный груз находится правее разрезанной панели 3-5, то есть единичный груз перемещается от узла 5 до узла 13. Рассматривается равновесие левой части рассечённой фермы. По способу моментной точки (моментной точкой является узел 5’) имеем:

åM_5’ = 0; 4d*R_л + 4H*О₄/3 = 0; O₄ = - (3d/H)R_л = - 2R_л,

то есть, в этом случае, линия влияния усилия О₄ подобна линии влияния левой опорной реакции R_л с коэффициентом подобия, равным –2. Строим правую ветвь линии влияния: откладываем под левой опорой фермы вниз от нулевой линии отрезок 1-1¢, равный -2, и проводим прямую 1¢-13, ограничиваясь отрезком 5-13 от правой опоры до узла 5.

2-й случай. Единичный груз находится левее разрезанной панели 3-5, то есть он перемещается от узла 1 до узла 3. Рассматривается равновесие правой части разрезанной части фермы:

åM₅¢ = 0; R_пр8d + O₄4H/3 = 0; O₄ = - 4R_пр,

В этом случае линия влияния усилия О₄ подобна линии влияния правой опорной реакции R_пр с коэффициентом подобия, равным – 4. Строится левая ветвь линии влияния усилия О₄: под правой опорой фермы от нулевой линии откладывается вниз отрезок 13-13¢, равный -4, и проводится прямая 1-13¢, которая ограничивается отрезком 1-3. В пределах разрезанной панели 3-5 проводится передаточная прямая.. Максимальная ордината линии влияния определена из подобия треугольников.

Построение линии влияния усилия в стержне U₃.

Для построения линии влияния U₃ используется разрез I-I в шпренгельной ферме, когда разрезанной панелью является панель 4-5. Построение линии влияния ведётся по способу моментной точки (моментной точкой для стержня U₃ является узел 3).

1-й случай. Единичный груз находится левее панели 4-5. Рассматривается равновесие правой части рассечённой фермы.

åМ₃ = 0; U₃r_U – R_пр10d = 0; r_U = Hcosa = 1.5dcosa;

U₃ = 10R_пр/1.5cosa = 6.87R_пр.

В этом случае линия влияния усилия U₃ подобна линии влияния правой опорной реакции R_пр с коэффициентом подобия, равным 6.87. Строим левую ветвь линии влияния. Для этого под правой опорой откладываем вверх от нулевой линии отрезок, равный 6.87, и проводим прямую 1-13¢, ограничивая её отрезком 1-4 до панели 4-5.

2-й случай. Единичный груз находится правее разрезанной панели 4-5, то есть груз перемещается от узла 5 до узла 13. Рассматривается равновесие левой части рассечённой фермы.

åМ₃ = 0; R_л2d –U₃r_U = 0; U₃ = R_л2d/r_U = R_л2/1.5cosa = 1.37R_л

 В этом случае линия влияния усилия U₃ подобна линии влияния левой опорной реакции R_л с коэффициентом подобия, равным 1.37. Строим правую ветвь линии влияния усилия U₃. Для этого под левой опорой фермы откладываем от нулевой линии отрезок, равный 1.37, и проводим прямую 13-1¢, ограничивая её отрезком 13-5 от правой опоры до узла 5. В пределах панели 4-5 проводится передаточная прямая.

Построение линии влияния усилия в стержне D₃. Стержень D₃ - элемент третьей категории. Для построения линии влияния усилия D₃ используется разрез I-I и расчётные схемы, и способ моментной точки (моментной точкой для стержня D₃ является точка К, точка пересечения стержней U₃ и O₄).

В первом случае (единичный груз левее разрезанной панели 4 – 5) имеем:

åM_к = 0; R_пр(12d + a) + D₃r_D = 0; D₃ = - R_пр(16d/r_D);

D₃ = - R_пр(16d/6dcosb) = - 3.76R_пр

 В этом случае линия влияния усилия D₃ подобна линии влияния реакции R_пр правой опоры фермы с коэффициентом подобия, равным -3.76. Строим левую ветвь линии влияния усилия D₃: под правой опорой откладываем от нулевой линии отрезок 13-13¢, равный -3.76 и проводим прямую 1-13¢, ограничивая её отрезком 1-4.

Во втором случае (единичный груз правее разрезанной панели 4–5) имеем: åМ_к = 0; R_л4d – D₃r_D = 0; D₃ = R_л(4d/r_D) = (2/3sinb); D₃ = 0.94R_л.

В этом случае линия влияния усилия D₃ подобна линии влияния реакции R_л левой опоры фермы с коэффициентом подобия, равным 0.94. Строим правую ветвь линии влияния усилия D₃ . Под левой опорой фермы откладываем от нулевой линии вверх отрезок 1-1¢, равный 0.94, и проводим прямую 13-1¢, ограничивая её отрезком 13-5. В пределах панели 4-5 проводим передаточную прямую.

Характерные ординаты линии влияния определены из подобия треугольников.

Построение линии влияния в стержне V₅. Стержень V₅ является элементом второй категории. Используя способ вырезания узлов, рассмотрим равновесие узла 6.

1-й случай. Единичный груз находится в узле 6. Из условия равновесия

åY = 0 (суммы проекций всех сил на вертикальную ось Y) имеем:

V₅ + 1 = 0; V₅ = -1.

2-й случай. Единичный груз находится вне узла 6, то есть узел не загружен. По второму признаку нулевых стержней имеем, что V₅ = 0.

Построение линии влияния усилия V₅ производится следующим образом.

Под узлом 6 фермы откладываем вниз от нулевой линии отрезок, равный -1, под другими узлами фермы ордината линии влияния равна нулю. В пределах разрезанных панелей 5-6 и 6-7 проводятся передаточные прямые.

Построение линии влияния усилия в стержне V₄. При построении линии влияния усилия V₄ используется сечение Ш-Ш в основной ферме. Так как стержень V₄ является элементом четвёртой категории, то выполняется построение двух линий влияния усилия V₄ c переменой грузовых поясов фермы (грузовым поясом считается тот, по которому осуществляется движение). При езде поверху разрезанной панелью фермы будет панель 3-5, а приезде понизу разрезанной будет панель 5¢-7¢. Вне зависимости от выбора грузового пояса имеем следующие соотношения.

1-случай. Единичный груз находится правее разрезанной панели (3-5 или 5¢-7¢). По способу проекций из рисунка 10,ж получаем:

åY = 0; R_л + V₄ = 0; V₄ = - R_л.

Линия влияния усилия V₄ в этом случае подобна линии влияния реакции левой опоры фермы с коэффициентом подобия, равным -1. Строится правая ветвь линии влияния усилия V₄. Под левой опорой фермы от нулевой линии откладывается отрезок 1-1¢, равный -1. Проводится прямая 13-1¢, которая ограничивается отрезком 13-5 при езде поверху и отрезком 13-7 при езде понизу.

2-случай. Единичный груз находится левее разрезанной панели. Из рисунка 10,з получаем: åY = 0; R_пр – V₄ = 0; V₄ = R_пр.

В этом случае линия влияния усилия V₄ совпадает с линией влияния реакции R_пр правой опорыфермы. Строим левую ветвь линии влияния усилия V₄. Под правой опорой фермы от нулевой линии вверх откладывается отрезок 13-13¢.

Проводится прямая 1-13¢, которая ограничивается отрезком 1-3 при езде поверху и отрезком 1-5 при езде понизу. В пределах разрезанных панелей проводятся передаточные прямые.

По полученным результатам строится фактическая линия влияния усилия V₄ следующим образом. При движении единичного груза от узла 1 до узла 3 и от узла 7 до узла 13 линии влияния усилия V₄ совпадают и не зависят от того, по какому поясу происходит движение единичного груза.

Так как фактически движение происходит по верхнему поясу, но при движении груза от узла 3 к узлу 4 фермы происходит передача давления от груза с верхнего пояса на узлы нижнего пояса, а при движении груза от узла 4 к узлу 5 происходит возврат давления на верхний пояс. При движении груза от узла 5 к узлу 6 вновь грузовое давление передается с верхнего пояса на нижний пояс, а при дальнейшем движении груза от узла 6 к узлу 7 грузовое давление возвращается на верхний пояс.

     Пункт 3. Определение усилий в рассматриваемых стержнях фермы по линиям влияния от действия собственного веса фермы.

Определение усилия в стержне О₄. О₄ = q W_O4; W_O4 = 0.5(-1.33)*72 = -48; где W_О4 – площадь линии влияния усилия О₄. Итак: О₄ =5*(-48) =-240kH. Результат аналитического расчёта О₄ = -240kH. Результаты совпали.                                                                  

Определение усилия в стержне U₃. U₃ = q W_U3, где W_U3 – площадь линии влияния усилия U₃. W_U3 = 0.5*3d*1.72 + (1.72 + 0.913)*d/2 + 0.5*8d*0.913 = =45.32. Итак, U₃ = 5*45.32 = 226.6кН. По данным аналитического расчёта U₃ =226.8кН. Результаты расчётов практически совпали.

Определение усилия в стержне D₃. D₃ = q*W_D3, где W_D3 – площадь линии влияния усилия D₃. W_D3 = 0.5*3d*(- 0.94) + (- 0.94 + 0.627)*d/2 + 0.5*8d*0.627 = =5.65. Итак, D₃ = 5*5.65 = 28.25кН. По аналитическому расчёту D₃ = 28.4кН. Результаты расчётов практически совпали.

Определение усилия в стержне V₅. V₅ = q*W_v5, где W_v5 = 0.5*(- 1)*2d = - 6 - площадь линии влияния усилия V₅. Итак, V₅ = - 6*5 = - 30кН. По аналитическому расчёту V₅ = - 30кН. Результаты расчётов совпали.

Определение усилия в стержне V₄. V₄ = q*W_v4, где W_v4 = 0.5*3d*0.25 + +(0.25 – 0.667)*d/2 = - 12 - площадь линии влияния усилия V₄. Итак,V₄ =-12*5 = - 60кН. По результатам аналитического расчёта V₄ = -60кН. Результаты совпали.

Пункт 4. Определение усилия в стержне О₄ от воздействия железнодорожного подвижного состава класса К = 10. Загружаем этой нагрузкой линию влияния усилия О₄ таким образом, чтобы усилие в стержне О₄ было наибольшим. Положение поездной нагрузки, при котором величина усилия будет наибольшей, называется наихудшим загружением сооружения подвижной нагрузкой и фиксируется двумя неравенствами вида:

R_л < (a/L)(åP_i + q*l_q); R_л + P_кр > (a/L)(åP_i +q*l_q),

где a – наименьшее расстояние до вершины линии влияния от конца её;

L – длина линии влияния;

R_л – равнодействующая сил поездной нагрузки, расположенной на левом склоне линии влияния;

P_i – сосредоточенная сила с номером i;

Р_кр – сосредоточенный груз, расположенный над вершиной линии влияния и названный критическим;

q = K*10⁴ н/м пути - интенсивность распределённой подвижной нагрузки класса К;

l_q - длина отрезка линии влияния, загруженного распределённой подвижной нагрузкой.

Принимаем за критический груз сосредоточенную силу Р₈. В этом случае имеем: R_л=7Р=7*2.5К*10⁴=17.5*10⁵Н=1750кН, а/L=1/3, åP_i =16*2.5*K*10⁴ = 4*10⁶H = 4000кН, l_q = 29м. (a/L)(åP_i + ql_q) = (1/3)(4000 + +29*100) = 2300кН.

Итак, R_л = 1750 < 2300, то есть первое неравенство выполняется, а второе неравенство не выполняется, так как R_л + Р_кР=1750 + 250 = 2000кН < 2300кН. Следовательно, рассматриваемое положение подвижной нагрузки на ферме не является наихудшим.

Принимаем за критический груз силу Р₁₁.

В этом случае имеем: R_л = =10Р=10*250 = 2500кН,

l_q = 37м. (a/L)(åP_i + ql_q) = (1/3)(4000 + 100x37) = =2567кН.

R_л +Р_кр = 2500 = 250 = 2750кН.

То есть, оба неравенства выполняются, так как 2500 < 2567 и 2750 > 2567. Следовательно, при таком загружении фермы подвижной нагрузкой, когда одиннадцатый груз располагается над вершиной линии влияния, усилие в стержне О₄ будет наибольшим.

Располагаем подвижную нагрузку над линией влияния и определяем ординаты её, расположенные под силами Р_i.  

y₁ = 1.33/24 = 0.0554;      y₂ = 3*1.33/24 = 0.166;      y₃ = 5*1.33/24 = 0.277;

y₄ = 7*1.33/24 = 0.388;              y₅ = 10*1.33/24 = 0.554; y₆ = 12*1.33/24 = 0.665;

y₇ = 14*1.33/24 = 0.776; y₈ = 16*1.33/24 = 0.887; y₉ = 20*1.33/24 = 1.108;

y₁₀ = 22*1.33/24 = 1.219; y₁₁ = 24*1.33/24 = 1.33; y₁₂ = 46*1.33/48 = 1.27;

y₁₃ = 43*1.33/48 = 1.19;             y₁₄ = 41*1.33/48 = 1.135; y₁₅ = 39*1.33/48 = 1.05;

y₁₆ = 37*1.33/48 = 1.025.

Итак, усилие О₄ равно: О₄ = åP_iy_i + qW_q, где W_q = 0.5(-1.025)*37 = -19,

О