Объединив указанные строки в матрицу

                                       ,                         (2.25)

получим

                                .                  (2.26)

Это выражение в дальнейшем будем называть трехчленной матричной формулой. Матрица (2.25) называется матрицей податливости данного участка. Если на участке отсутствует равномерно распределенная нагрузка, то f = 0 и средний столбец не используется

                                                                          (2.27)

При определении перемещений по формуле Мора с учетом деформации всех участков системы получается тоже трехчленная матричная формула, структура которой аналогична (2.26), но используются векторы, учитывающие внутренние силовые факторы для всех отмеченных сечений системы

                                      ,                                            (2.28)

где - полный вектор эпюры моментов от единичного силового фактора;

   - полный вектор от нагрузки, вызывающей перемещение;

    B - матрица податливости всей системы, которая компонуется из подматриц податливостей каждого участка типа (2.25) или (2.27) по следующей схеме

                            ,                           (2.29)                                 

 

 где r - число участков системы.

 

ПРИМЕР № 2

Для рамы определить вертикальное перемещение точки С, учитывая только изгибные деформации.

 

Прежде всего, проводим подготовку схемы рамы к расчету с помощью матриц. Для этого нумеруем участки, и сечениям, на границах каждого участка, присваиваем индивидуальный номер. Затем устанавливаем для каждого участка свое правило знаков для ординат эпюр моментов, которые будем, как всегда, откладывать в сторону растянутого волокна.

Стоим эпюру от заданной нагрузки.

Определяем опорные реакции.

Проверка:

Реакции найдены верно.

Проведя разрез на участке 1-2 и рассматривая равновесие нижней части стойки, видим, что реакция проходит через центр тяжести сечения, поэтому изгибающий момент на этом участке отсутствует. На участке 5-6 момент возникает от реакции  - эпюра треугольная. На участке 3-4 применяем способ, указанный в предыдущем примере. При этом стрелка равна

                                         

Записываем ординаты эпюры  в матрицу-столбец, для удобства показанный транспонированным

 .

Рассматриваем ту же раму под действием , приложенной в сечении 6 по направлению искомого перемещения.

Определяем реакцию:

Далее методом сечений определяем ординаты эпюры . Записываем ординаты эпюры в матрицу-столбец      

 .

Составляем матрицы податливости каждого участка

.

Составляем матрицу податливости всей системы по схеме (2.29)

                       

Определяем перемещение по формуле (2.28)

 (м).

Точка С перемещается вниз (по направлению ).

 

2.5.3. Программа SETPEREM.EXE для определения перемещений.

Примеры

 

С помощью формул (2.16) и (2.28) можно вычислить перемещение, учитывая только изгибные деформации. Формулу (2.15) тоже можно представить как перемножение матриц

                                      ,                          (2.30)

- вектор эпюры нормальных сил от единичного силового фактора,           приложенного по направлению искомого перемещения,

 - вектор эпюры нормальных сил от нагрузки,

B - матрица податливости системы при учете осевых деформаций, представляющая собой диагональную матрицу.

В каждой из матриц, являющейся сомножителем, конкретный участок представлен одним числовым элементом - в матрицах N это ординаты эпюр N на этом участке, а в матрице В - это податливость участка при растяжении, стоящая на главной диагонали и определяемая формулой

                                                     ,                            (2.31)

где  - длина k -того участка,  - площадь поперечного сечения участка.

Для комбинированных систем нужно учитывать два вида деформаций, поэтому формулы (2.28) и (2.30) можно обобщить

                                              ,                      (2.32)

где   - вектор внутренних усилий в расчетных сечениях системы от единичного силового фактора,

      - вектор внутренних усилий от нагрузки, являющейся причиной перемещения.