Определение перемещений в упругих системах

2.1 Компоненты перемещения сечения в плоских стержневых системах

В плоских стержневых системах обычно определяют два вида перемещений: изменения координат центров тяжести сечений, называемые линейными перемещениями, и углы поворота плоских сечений, называемые угловыми перемещениями. Зная эти компоненты, можно всегда определить положение любой точки системы после деформации

В строительной механике любые компоненты перемещения принято обозначать буквой дельта с двумя индексами ,где первый индекс указывает номер направления перемещения, а второй - номер или символ причины, вызывающей это перемещение.  Индекс  указывает на нагрузку, обозначенную символом Р, являющейся причиной рассматриваемой деформации. Линейные компоненты  и  позволяют определить положение центра тяжести сечения после деформации, а угол поворот определяет положение сечения, на котором находится любая точка m. При этом считается, что продольные волокна при изгибе “друг на друга не давят“, то есть координата Y любой точки m в поперечном сечении остается неизменной. Следует отметить, что компоненты перемещения предполагаются малыми по сравнению с размерами сооружения. Это справедливо для большого класса строительных и механических конструкций. При взгляде, например, на городской мост в часы пик невозможно увидеть, что он деформирован - это можно обнаружить только с помощью специальных приборов. При проектировании больших мостов максимальная составляющая перемещения по вертикали не должна превышать одной тысячной пролета.

 

2.2. Действительные и возможные перемещения. Действительная и

возможная работа внешних сил

Условие малости перемещений приводит к условию, что внешние силы не меняют своего направления в процессе деформации системы.

В дальнейшем будем рассматривать системы, подчиняющиеся закону Гука. Это значит, что если  вызвано действием силы , то

                                         ,                                         (2.1)

где k - коэффициент пропорциональности.

На схеме, ; , где  и  разные по величине коэффициенты пропорциональности.

Для конкретной силы Р различают действительное и возможное перемещение.                        

Под действительным будем понимать перемещение , вызванное силой . Например, на схеме для силы  действительным будет перемещение .

Подсчитаем работу силы  при деформации рамы. Точка приложения силы   перемещается по направлению этой силы на величину действительного перемещения .

    При этом сила  совершает работу, которую мы назовем действительной и обозначим . При этом будем предполагать так называемое статическое приложение нагрузки, то есть постепенное медленное увеличение нагрузки от 0 до  (настолько медленное, что ускорениями точек можно пренебречь).

Промежуточное значение силы обозначим , а соответствующее ей перемещение . В процессе увеличения сила  получит приращение . Подсчитаем элементарную работу силы  на соответствующем приращении перемещения   

                                 .                       (2.2)

Здесь   - некоторый коэффициент, учитывающий переменность  на интервале приращения перемещения. При этом мы пренебрегаем слагаемым , которое является бесконечно малой величиной высшего порядка.

Перемещение прямо пропорционально силе, поэтому  и .

Подставив последнее выражение в (2.2), вычислим работу на всем пути нагружения, как     .               (2.3)  

Действительная работа внешней силы   равна половине произведения величины силы на величину действительного перемещения по направлению силы (теорема Клайперона). В общем случае, при действии нескольких сил , ,... , согласно этой теореме, действительную работу внешних сил можно вычислить по формуле                    .                                 (2.4)

Вывод этой теоремы приведен в п. 2.7.

Под возможным перемещением будем понимать любое малое перемещение, допускаемое имеющимися связями и независящее от заданной нагрузки. Чаще всего за возможные перемещения можно принять перемещения, вызванные другой системой нагрузок.

Так перемещение   будет возможным для силы . При этом, если раме сообщить возможные перемещения, вызванные силой  , то сила   совершит на возможном перемещении   работу, которую будем называть возможной и обозначим                      .                                        (2.5)

В формуле (2.5) отсутствует множитель 0,5, так как  и   не зависят друг от друга, как это имеет место при подсчете действительной работы (2.3).

            

2.3. Принцип возможных перемещений. Возможная работа

внутренних сил

Принцип возможных перемещений состоит в следующем [1]: если некоторая механическая система под действием заданных сил находится в равновесии, то работа сил, приложенных к этой системе, на любых бесконечно малых возможных перемещениях равна нулю. Этот принцип является необходимым и достаточным условием равновесия любой механической системы. Он следует из общего уравнения механики Даламбера-Лагранжа [2]. Доказано [1], что, применяя принцип возможных перемещений к упругим системам, вместо бесконечно малых возможных перемещений можно рассматривать малые, но конечные перемещения, которые возникают от конкретной нагрузки. Кроме того, можно возможные перемещения отсчитывать не от деформированного состояния, а от начального, ненагруженного. 

Выделим двумя сечениями бесконечно малые участки рамы в двух состояниях: в действительном и в состоянии, вызывающем возможные перемещения. В каждом из этих состояний в сечениях действуют внутренние силовые факторы M, N, Q. В дальнейшем не будем учитывать влияние поперечных сил Q, так как оно обычно мало по сравнению с влиянием M и N.

Силовые факторы M и N в действительном состоянии 1 являются внутренними силовыми факторами для всей системы, но для выделенного бесконечно малого элемента они являются внешним моментом и внешней силой. Поэтому мы можем подсчитать элементарную возможную работу этих факторов, используя формулу (2.5), как работу внешних сил на возможных перемещениях, вызванных силами во втором состоянии

Таким образом,      = +  .            (2.6)

Для вычисления элементарной работы внутренних сил в выделенном элементе, воспользуемся принципом возможных перемещений

                                              + = 0.                            (2.7)

Отсюда следует важный вывод =- ,                          (2.8)

что возможная работа внутренних сил (сил упругости) равна возможной работе внешних сил, но с обратным знаком.

Подставляя (2.6) в (2.8), получим

                                 = .         (2.9)

Просуммировав возможную работу внутренних сил по всей стержневой системе, будем иметь

                                ,        (2.10)

где интегрирование проводится по каждому стержню, а суммирование - по всем стержням, образующим систему.

Если действительное состояние имеет индекс i, а возможное состояние j, то                     .      (2.11) 

Формула (2.11) показывает, что за действительное можно принять любое из двух - тогда другое состояние будет считаться возможным для первого.

2.4 Формула Мора для определения перемещений

Применяя принцип возможных перемещений для всей системы, запишем

                                              .                               (2.12)

Отсюда получаем формулу для возможной работы внешних сил

                       .  (2.13)

Вывод формулы для определения перемещения точки С по направлению i проведем на примере системы

Причиной перемещения является равномерно распределенная нагрузка q. Обозначим состояние системы индексом q. Наряду с ним рассмотрим ту же систему, но при действии на нее силы = 1 по направлению i

Обозначим это состояние индексом i. Примем состояние i за действительное, а состояние q за состояние, в котором перемещения будут возможными для сил в состоянии i. Воспользуемся (2.13) для подсчета возможной работы сил в состоянии i на возможных перемещениях в состоянии q

           .     

Здесь учтено, что по длине стержней N - постоянная величина.

Подставив = 1, получим формулу для определения проекции полного перемещения на направление i

                            .              (2.14)

Формула (2.14) называется формулой Мора - по фамилии ученого, впервые его получившего. В этой формуле значения внутренних силовых факторов в i -том состоянии обозначены черточками сверху. Это значит, что они возникают в сечениях системы от действия единичного силового фактора, приложенного по направлению искомого перемещения или его проекции. Величины и являются значениями внутренних силовых факторов в сечениях системы в состоянии q. Таким образом, для того, чтобы определить перемещение или проекцию его по какому-нибудь направлению по формуле Мора, нужно сделать следующее:

1. Построить эпюры внутренних силовых факторов от нагрузки, вызывающей перемещение (эп.  и эп.  ).

2. По направлению искомого перемещения приложить единичный силовой фактор (если определяется линейное перемещение, то прикладывается единичная сила, если определяется угол поворота сечения - то сосредоточенный момент) и построить эпюры внутренних силовых факторов (эп. и эп. ).

3. Перемножить соответствующие функции на каждом участке, вычислить интегралы и результаты просуммировать по всем стержням системы в соответствии с (2.14).

Следует отметить, что обе суммы в формуле (2.14) используются при определении перемещений в пологих арках и комбинированных системах, то есть системах, в которых имеются стержни, работающие на изгиб, и стержни, работающие на растяжение или сжатие.

При расчете ферм, ввиду отсутствия изгибающих моментов, для определения перемещений применяется формула

                                      ,                                 (2.15)

где - длина конкретного стержня в ферме, а - площадь его поперечного сечения.

При расчете рам часто можно пренебречь осевой деформацией и учитывать только изгибную

                                       .                       (2.16)

 

2.4.1 Вычисление интегралов Мора. Правило Верещагина. Примеры

Процедуру перемножения функций, например, изгибающих моментов в двух состояниях и последующего интегрирования произведения в пределах одного участка системы можно значительно упростить, если воспользоваться так называемым правилом Верещагина. Фрагменты  эпюр моментов в двух состояниях: действительном, в котором действует заданная нагрузка, и единичном (воображаемом). В действительном состоянии эпюра моментов может иметь криволинейное очертание, а в единичном - всегда прямолинейное.

Воспользуемся последним обстоятельством и продолжим прямую эпюры  до пересечения с осью - отметим точку . Обозначим расстояние от точки  до текущей ординаты  через z. Тогда . Приступим к вычислению определенного интеграла, считая поперечное сечение стержня в пределах одного участка постоянным.

            =  .

Здесь введено обозначение - элементарная площадь эпюры . Последний интеграл по площади в курсе сопротивления материалов называют статическим моментом площади фигуры (в нашем случае - эпюры моментов ) относительно оси y. Там же доказывается, что если известна координата центра тяжести фигуры, то статический момент численно равен произведению площади на эту координату. Таким образом, обозначив  - координату центра тяжести эпюры    относительно оси у, а - площадь эпюры , получим

                            = ,                    (2.17)

где  - ордината эпюры  под центром тяжести эпюры .

Окончательно правило Верещагина формулируется следующим образом: для того, чтобы вычислить интеграл от произведения двух эпюр, нужно площадь криволинейной эпюры умножить на ординату прямолинейной под центром тяжести криволинейной и результат разделить на EJ.

Если обе эпюры прямолинейные, то площадь и центр тяжести можно вычислять у любой из них, а ординату - у другой.

Обычно криволинейность эпюры  вызвана действием равномерно распределенной нагрузки. При этом всегда такую эпюру можно рассматривать как сумму прямолинейной эпюры, возникающей от концевых моментов, и параболического сегмента, имеющего вид эпюры моментов в однопролетной шарнирно опертой балке от равномерно распределенной нагрузки. Отклонение криволинейной эпюры в середине участка от линии, соединяющей крайние ординаты и , называют стрелкой и обозначают f. От действия равномерно распределенной нагрузки q всегда   ,                                (2.18)

а площадь параболического сегмента                            (2.19)

с центром тяжести посередине участка.

Прямолинейную часть эпюры можно, в свою очередь, рассматривать как сумму двух треугольных эпюр с центрами тяжести в соответствующей трети участка.

ПРИМЕР №1

 

Для заданной рамы определить линейные и угловые перемещения по направлению 1,2 и 3.

Для вычисления всех перемещений нужно построить эпюру моментов от заданной нагрузки. Начнем с определения опорных реакций. Для определения реакции составим уравнение равновесия

;

; .

Для определения вертикальной составляющей реакции в точке А составим уравнение равновесия

;

; .

Для определения горизонтальной составляющей

;   

Проверка

Реакции найдены верно.

Проводим разрез на ригеле и рассматриваем правую оставшуюся часть

Составим уравнение равновесия

Получили положительный результат, значит - момент в сечении действует именно так, то есть вызывает растягивающие напряжения в нижних волокнах стержня. Следовательно, ординаты эпюры откладываем вниз - в сторону растянутых волокон. Эпюра имеет треугольный вид.

Проведя разрез на левой части ригеля (консоли), убеждаемся, что там =0.

При построении эпюры на стойке можно провести разрез и записать аналитическое выражение ординат, но можно воспользоваться принципом независимости действия сил и рассуждать следующим образом. Изгибающий момент в любом сечении стойки возникает от действия момента в верхнем сечении и равномерно распределенной нагрузки по всей длине. Узел примыкания ригеля к стойке должен быть в равновесии, поэтому, зная изгибающий момент в ригеле, вызывающий растяжение нижних волокон 16 кНм, мы можем уверенно сказать, что в верхнем сечении стойки изгибающий момент должен действовать так.чтобы вызывать растяжение правых волокон и быть равным 16 кНм. В сечении у опоры А момент должен быть равен 0 - получается треугольная эпюра, но действие распределенной нагрузки приводит к необходимости добавления параболического сегмента со стрелкой

направленной в сторону действия нагрузки q   

При таком способе построения не определяется точка экстремума изгибающего момента, но для вычисления перемещения она не нужна. В нашем случае точка экстремума  на стойке будет в верхнем сечении, где Q = 0.

Для определения проекции перемещения точки С на направление 1, приложим по этому направлению единичную силу   и построим эпюру .

Применим формулу Мора в виде (2.16)

  = (м).

Положительный результат означает, что проекция перемещения точки С на направление 1, при действии нагрузки q, направлена вниз.

Определим линейное перемещение точки В по направлению 2. Для этого приложим в точке В единичную силу  по этому направлению и построим эпюру . Применим формулу Мора в виде (2.16) и способ Верещагина

 м.

Точка перемещается вправо (по направлению ). Определим угол поворота сечения А по направлению 3.

Для этого приложим в сечении А сосредоточенный момент  и построим эпюру . Далее применим формулу Мора и правило Верещагина. В таких случаях говорят “перемножим эпюры  и “.

радиан.

Сечение А поворачивается по часовой стрелке (по направлению ).

 

2.5. Матричный алгоритм определения перемещений

2.5.1. Эпюры внутренних усилий в матричной записи. Матрица влияния

Рассмотрим раму и построим для нее эпюру изгибающих моментов. При этом наряду с эпюрой М будем рассматривать матрицу-столбец, элементы которой численно равны ординатам эпюры М в начале и конце участков, на которые предварительно разделим данную стержневую систему  

Сечения в начале и конце каждого участка отметим цифрами. Кроме того, для каждого участка введем правило знаков для ординат эпюры М, которые при построении были отложены от оси рамы в сторону растянутого волокна. На участках, где нет равномерно распределенной нагрузки, эпюра М очерчивается прямой линией, которая полностью определяется значениями ординат в начале и конце участка (соответствующими элементами матрицы-столбца).

На участках, где действует равномерно распределенная нагрузка эпюра М очерчена по квадратной параболе и поэтому должна определяться тремя параметрами. Третьим параметром будет служить стрелка f, определение которой дано в примере п. 2.4.1. Фрагмент  эпюры М на участке, где действует равномерно распределенная нагрузка и формула для стрелки f.

Таким образом, структура матрицы-столбца эпюры М (чаще мы будем говорить вектора эпюры моментов ) имеет вид

                                     (2.20)

Воспользуемся принципом независимости действия сил: будем строить эпюры моментов от каждого вида нагрузок равных 1 и записывать эти эпюры в виде векторов. Все три вектора составим вместе, образуя так называемую матрицу влияния моментов (2.21).

                                                            (2.21)

 

Образуем матрицу-столбец (вектор) нагрузки .

Вектор окончательной эпюры моментов (2.20) определяется по формуле

                                                           .                               (2.22)

 

 

Построим эпюру М, откладывая ординаты, равные по величине элементам  перпендикулярно оси участка в соответствии с выбранным правилом знаков для этого участка.

Матрицы влияния широко применяются в строительной механике. Рассмотрим структуру матриц влияния моментов в общем виде. Для этого элементы матрицы обозначим , где i - номер сечения, а j - индекс единичной нагрузки, вызывающей изгиб. Элементы строки с номером i представляют собой значения момента в сечении i от разных нагрузок, равных 1. При умножении этой строки на вектор нагрузки автоматически (в соответствии с правилом умножения матриц) происходит умножение значений ординат эпюр от единичных нагрузок (единичных эпюр) на действительное значение нагрузок и их сложение. Таким образом, формула (2.22) лаконично выражает целый процесс умножения единичных эпюр на каждую из нагрузок и их сложение.

Применение формулы (2.22) целесообразно в случае, если одну и ту же систему нужно рассчитывать на разные сочетания нагрузок. При этом меняется только вектор нагрузки, а матрица во всех расчетах одна и та же. Например, построим эпюру М от другой системы нагрузок. При этом вектор нагрузки примет вид  применяя формулу (2.22), получим

Понятие матрицы влияния моментов приобретает глубокий смысл при построении линий влияния в балках. Проведем расчет в матричной форме.

Разделим балку на 7 участков длиной d и пронумеруем сечения на границах участков. В отличие от схемы  следующего и конец предыдущего участка отметим одним номером. Это можно сделать, если нагрузка не содержит сосредоточенных моментов, приводящих к скачкам в эпюре моментов. Далее выберем общее правило знаков для ординат М для всех участков балки. Будем последовательно устанавливать  в узловые точки, записывать векторы моментов и составлять их рядом, образуя матрицу влияния моментов

             .