Уравнение динамики вращательного движения

Твердого тела

Пусть материальная точку массой m, движущуюся по окружности радиусом r под действием постоянной силы F направленная по касательной к окружности. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает тангенциальное ускорение

 

или

 

Используя соотношение, связывающее тангенциальное и угловое ускорение ε

,

получаем

 

Умножим обе части написанного выше равенства на r:

 

(5.14)

 

Левая часть выражения (5.14) является моментом силы: .

Правая часть представляет собой произведение углового ускорения ε на момент инерции материальной точки А.

Так как твердое тело представляет систему неподвижно связанных между собой материальных точек, а для каждой из них справедливо со­отношение (5.14), то

Тогда

 

Обозначая — суммарный вращающий момент, а

— момент инерции твердого тела относительно оси О'О ', получаем ос­новное уравнение динамики вращательного движения твердого тела:

 

(5.15)

 

Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорцио­нально моменту инерции.

При постоянном моменте вращающей силы угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить через разность угловых скоростей:

(5.16)

 

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

или (5.17)

 

— момент импульса (или момент количества движения), М Δ τ — импульс момента сил (или импульс вращающего момента).

Эти величины векторные и совпадают по направлению с вектора­ми и .

Определим кинетическую энергию твердого тела, вращающегося во­круг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каж­дая точка движется с линейной скоростью , тогда кинетическая энергия точки

или . (5.18)

 

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:

 

(5.19)

 

[ J — момент инерции тела относительно оси вращения].

Если тело совершает поступательное и вращательное движения од­новременно, то его полная кинетическая энергия равна

 

(5.20)

 

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательно­го и вращательного движений видно, что мерой инертности при враща­тельном движении служит момент инерции тела.

Рассмотрим, например скатывание шара по наклонной плоскости с высоты h без проскальзывания с начальной нулевой скоростью (рисунок 5.4). Найдем скорость перемещения шара в конце спуска. Из закона сохранения энергии

 

имеем:

.

 

 

Рисунок 5.4 – Скатывание шара с наклонной плоскости.

 

Условие движения без проскальзывания означает, что линейная скорость центра масс связана с угловой скоростью , момент инерции шара равен

 

Тогда искомая скорость шара в конце спуска: