Лекция 8 Основы специальной теории относительности

8.1 Постулаты Эйнштейна

8.2 Преобразования Лоренца и следствия из них

8.3 Преобразование скоростей в релятивистской кинематике

8.4 Понятие о релятивистской динамике

Постулаты Эйнштейна

Все законы физики описывают, как протекают те или иные физичес­кие явления. В механике изучается механическое движение, а всякое дви­жение можно описать с помощью пространственно-временных характерис­тик, так как любой объект имеет определенное положение, которое при движении изменяется со временем.

Основным принципом классической механики является принцип отно­сительности Галилея, согласно которому все инерциальные системы отсче­та равноправны по отношению к механическим явлениям. Благодаря это­му равноправию формулировки законов механики во всех инерциальных системах отсчета одинаковы.

Созданная Эйнштейном теория относительности представляет собой физическую тео­рию пространства и времени. Все физические явления происходят в про­странстве и времени, поэтому неудивительно, что внесение новых воззрений на пространственные и временные измерения затронуло всю физику.

Появление теории относительности было связано с развитием электро­динамики. После того как Дж. Максвеллом во второй половине XIX в. были сформулированы основные законы электродинамики, встал вопрос о применимости механического принципа относительности к электромагнит­ным и оптическим явлениям. А для этого нужно было выяснить, изме­няются ли основные законы электродинамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой или, как и законы Ньютона, ос­таются неизменными (инвариантными).

Опытным путем было установлено, что основные уравнения электродинамики не являются инвариантными относительно преобразований Галилея. Согласно этим уравнениям скорость распространения электромагнитных волн в вакууме одинакова по всем направлениям и равна c = 3 · 10⁸ м/с. Но, с другой стороны, в соответствии с классическим законом преобразования скорости, вытекающим из преобразований Галилея, скорость света может быть равна с только в одной инерциальной системе отсчета. Таким образом, между электродинамикой и классической механикой имеют место определенные противоречия. Эксперимент свидетельствует об универсальном характере принципа относительности, а преобразования Галилея удовлетворяют этому принципу в отношении законов механики и не удовлетворяют в отношении законов электродинамики и оптики. Единственно правильный выход из глубокого кризиса был найден Эйнштейном в 1905 г. ценой отказа от классических представлений о пространстве и времени и от основанных на них преобразований Галилея.

В основе теории относительности Эйнштейна лежат два твердо установленных экспериментально принципа или постулата: принцип относительности Эйнштейна и принцип постоянства скорости света.

Принцип относительности Эйнштейна является распространением механического принципа Галилея на все без исключения физические явления. Согласно этому принципу все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, т.е. равноправие всех инерциальных систем распространяется на все явления, всю физику.

Принцип постоянства скорости света утверждает, что скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света.

Из сформулированных выше постулатов вытекает ряд важных выводов, касающихся свойств пространства и времени. В классической физике время является абсолютным: для всех систем отсчета вводится одно и то же время. Это значит, что если два события происходят одновременно для какого-нибудь наблюдателя, то они являются одновременными и для любого другого: понятие одновременности является также абсолютным, не зависящим от системы отсчета. Однако последнее утверждение находится в противоречии с принципом постоянства скорости света. Поэтому постулаты теории относительности потребовали внесения изменений в основные физические понятия, относящиеся к пространству и времени.

 

8.2 Преобразования Лоренца и следствия из них

 

Классические преобразования Галилея несовместимы с постулатами специальной теории относительности Эйнштейна, хотя бы по той причине, что в них действует закон сложения скоростей и он будет находиться в противоречии с принципом постоянства скорости света .

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета S и .Система движется со скоростью . В начальный момент времени , когда начала координат совпадают, излучается импульс света. По теории относительности . За время в системе луч пройдет путь от начала координат до точки А (рисунок 8.1). Координата светового импульса в момент достижения точки А:

 

(8.1)

 

В системе координата светового импульса в момент достижения точки А:

(8.2)

Вычтем (8.1) из (8.2):

(8.3)

 

Рисунок 8.1 – К выводу преобразований Лоренца

 

Из рисунка видно, что и , причем

Таким образом, интервал времени между одним и тем же событием (прохождением лучом света точки А) различен в разных системах отсчета, т.е. время носит относительный характер.

Классические преобразования Галилея при переходе от одной системы к другой имеют вид

от S к от к S

(8.4)

 

В теории относительности, когда точка будет двигаться со скоростью, соизмеримой скорости света, они заменяются преобразованиями Лоренца:

от S к от к S

(8.5)

где

Видно, что при переходе от одной системы к другой меняется только знак скорости.

При движении тел и систем отсчета со скоростями много меньшими, чем скорость света преобразования Лоренца при переходят в преобразования Галилея – это суть принципа соответствия. Преобразования Лоренца верны при любых скоростях, а Галилея – только при малых.

Из преобразований Лоренца следует очень важный вывод о том, что как расстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, в то время как в рамках преобразований Галилея эти величины считались абсолютными, не изменяющимися при переходе от системы к системе. Кроме того, как пространственные, так и временные преобразования не являются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени – пространственные координаты, т.е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени.

Пусть в системе S в точках с координатами x ₁ и x ₂ в моменты времени t ₁ и t ₂ происходят два события. В системе этим точкам соответствуют координаты и в моменты времени и

Если события в системе S происходят в одной точке и являются одновременными то согласно преобразованиям Лоренца

и .

Эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.

Если события в системе S пространственно разделены но одновременны t₁ = t₂, то в системе (подставив в преобразование Лоренца)

 

 

То есть эти события в системе будут пространственно разделены и неодновременные. В одних системах одно событие будет раньше другого, а в другой системе может быть наоборот.

 

 

8.3 Преобразование скоростей в релятивистской кинематике

 

Вновь вернемся к рисунку 8.1. Пусть некоторая материальная точка

движется в системе S со скоростью и в системе со скоростью . Как известно из кинематики,

 

где и – радиус-векторы точки в системах – проекции скорости на соответствующие оси, которые можно найти из выражений

 

(8.6)

 

В нашем упрощенном случае (см. рисунок 8.1), когда оси систем параллельны и направлена вдоль оси OX и в начала координат совпадают можно записать:

Воспользовавшись преобразованиями Лоренца, возьмем производные:

(8.7)

где , а – скорость движения системы .

После преобразований получим релятивистский закон сложения скоростей:

от S к от к S

(8.8)

При уравнения приводят к обычному сложению скоростей в классической механике: