Унитарные операторы и их свойства.

Определение. Линейный оператор U называется унитарным, если .

Утверждения.

1) Всякий унитарный оператор U в унитарном пространстве сохраняет скалярное произведение. Всякий линейный оператор U, сохраняющий скалярное произведение, унитарен.
Доказательство.
Необходимость. .
Достаточность.

2) Унитарный оператор не меняет длину векторов.
Доказательство. Заменим условие унитарности линейного оператора в матричном виде: выберем ортогональный базис в Х и построим линейный оператор U в этом базисе: (1). (2).
Вывод. (3). Условие эквивалентно ортонормированности строк матрицы унитарного оператора. Условие (4) эквивалентно ортонормированности строк матрицы унитарного оператора.

3) В ортонормированном базисе строки и столбцы матрицы унитарного оператора U ортонормированные.

4) Рассмотрим скалярное произведение . Следовательно, для того, чтобы линейный оператор U был унитарным необходимо и достаточно, чтобы он переводил какой-либо ортонормированный базим в ортонормированный базис .

Определение. Матрица с элементами , удовлетворяющая условиям (3, 4), называется унитарной матрицей.

Замечание. Т.к. переход от одного ортонормированного базиса к другому осуществляется унитарным оператором, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому такому же является унитарной.

Лемма 1. Собственные значение унитарного оператора по модулю равны 1 (лежат на окружности единичного радиуса).

Доказательство. Пусть х – собственный вектор унитарного оператора U и - соответствующее собственное значение: . Рассмотрим

Лемма 2. Пусть унитарный оператор U, действующий в n-мерном пространстве Х, а е – его собственный вектор. Тогда (n-1)-мерное пространство , состоящее из векторов инвариантно относительно U.

Доказательство. пространство инвариантно.

Теорема 1. Для любого унитарного оператора в n-мерном пространстве существует n попарно ортогональных собственных векторов, соответствующие им собственные значения по модулю равны 1.

Доказательство. Унитарный оператор U имеет в Х хотя бы один собственный вектор, обозначим его через . По лемме 2 (n-1)-мерное подпространство , состоящее из всех векторов пространства Х ортогональных к , инвариантно относительно унитарного оператора U. Продолжая это процесс, мы получим n попарно ортогональных собственных векторов унитарного оператора U. По лемме 1 собственные значения, соответствующие собственным векторам, по модулю равны 1.

Теорема 2. Для любого унитарного оператора U в n-мерном пространстве Х существует ортонормированный базис, в котором матрица этого оператора диагональна: (5).

Доказательство. Пусть U – унитарный оператор, тогда по теореме 1 существует ортонормированный базис пространства Х из собственных векторов унитарного оператора U: . В этом базисе матрица U имеет вид (5), а числа в силу леммы 1.

15. Спектральная характеристика нормального оператора. Критерий простоты структуры линейного оператора.

Определение. Линейный оператор называется нормальным, если .

Замечание. Унитарные и самосопряженный линейные операторы являются частными случаями нормальных операторов.

Теорема. Спектральная характеристика нормального оператора. Для того, чтобы существовал ортонормированный базис, в котором линейный оператор приводится к диагональной форме, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство.

Необходимость. Пусть в некотором ортонормированном базисе матрица оператора А диагональна , т.к. базис ортонормированный, то матрица оператора будет (транспонирование, сопряжение). Следовательно, .

Достаточность. Пусть . Покажем, что у операторов А и существует общий собственный вектор :

Линейная оболочка будет одномерным инвариантным подпространством, а будет также инвариантным подпространством. Докажем это:

Пусть . также будет принадлежать , т.к. . Рассмотрим теперь действие оператора А из ()… Продолжая этот процесс, получим ортогональный базис из собственных векторов, нормируем его – нормированный.

Определение. называется оператором простой структуры, если А имеет n линейно независимых собственных векторов.

Теорема. Критерий простоты структуры линейного оператора. Для того, чтобы линейный оператор А имел простую структуру необходимо и достаточно, чтобы для любого корня характеристического уравнения кратности ранг .

Доказательство.

Необходимость. А – оператор простой структуры. Следовательно, существуют n линейно независимых векторов, выбирая которые в качестве базиса L, получим, что матрица линейного оператора в базисе имеет вид: . Причем среди могут быть одинаковые. Если через А обозначить матрицу линейного оператора в некотором произвольном базисе , то , где Р – матрица перехода от базиса е из собственных векторов к базису f. Следовательно , т.е. и подобны и имеют одинаковый ранг. . числу отличных от нуля ее диагональных элементов, т.е. числу корней характеристического уравнения неравных , т.о. .

Достаточность. Пусть - различные собственные значения оператора А. Собственные векторы, отвечающие собственному значению , образуют подпространство в L размерностью . Следовательно, линейный оператор А имеет линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению . Т.о. мы имеем собственных векторов . Покажем, что они линейно независимы в совокупности (от противного). Пусть это не так и равенство нулю линейной комбинации возможно при ненулевых коэффициентах. Следовательно, пусть . Введем линейный оператор .

16. Достаточный признак оператора простой структуры. Доказать, что у всякого линейного оператора в вещественном пространстве существует одномерное (двумерное) инвариантное подпространство.

Теорема. Достаточный признак оператора простой структуры. Если все корни характеристического уравнения различны, то линейный оператор А имеет простую структуру.

Доказательство. Пусть . Покажем, что система линейно независима: (1). Подействует линейным оператором : (2). Подействует на (2) линейным оператором : (3). Продолжая процесс вплоть до оператора получим (4). Заметим, что (4) – это результат приложения оператора к исходному уравнению. Из (4) следует . Если к исходному уравнению применить оператор можно показать, что . И вообще соответствующим выбором оператора можно добиться, что все . Следовательно, - линейно независимы, а А – оператор простой структуры.

Теорема 1. У всякого линейного оператора в вещественном пространстве существует одномерное (двумерное) инвариантное подпространство.

Доказательство. Выберем в линейном пространстве Х базис . В этом базисе линейному оператору А соответствует матрица , преобразующая координаты в координаты . Рассмотрим условие в координатной форме:

(1)

Тогда ненулевое решение (1) существует, если (2). И пусть - корень уравнения (2). Возможны два случая:

1) - вещественное, тогда существует решение системы (1), определяющее координаты собственного вектора х. х порождает одномерное инвариантное пространство;

- комплексное (). Пусть - это решение системы (1). Подставим эти числа в (1) и отделим вещественную часть от мнимой.
(3).
Будем считать - координатами некоторого вектора х, а - координатами у, тогда (4). Равенство (4) означает, что линейная оболочка есть двумерное инвариантное подпространство относительное оператора.