Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора и основные этапы ее доказательства.

Пусть задано произвольное линейное преобразование A в комплексном пространстве n измерений. Предположим, что у A имеется k (k<=n) линейно независимых собственных векторов e₁,f₁,…,h₁, соответствующих собственным значениям λ₁,λ₂,…,λ_k. Тогда существует базис, состоящий из k групп векторов:

e₁,…,e_p; f₁,…,f_q; …; h₁,…,h_s, (1)

в котором преобразование A имеет вид:

Ae₁ = λ₁e₁, Ae₂ = e₁ + λ₁e₂, …, Ae_p = e_p-1 + λ₁ e_p (2)

Af₁ = λ₂f₁, Af₂ = f₁ + λ₂f₂, …, Af_q = f_q-1 + λ₂ f_q

……………………………………………………….

Ah₁ = λ_kh₁, Ah₂ = h₁ + λ_kh₂, …, Ah_s = h_s-1 + λ_kh_s

Мы видим, что базисные векторы каждой группы переходят при нашем преобразовании в линейную комбинацию векторов той же группы. Отсюда следует, что каждая группа базисных векторов порождает подпространство, инвариантное относительно преобразования A. Рассмотрим несколько подробнее преобразование, задаваемое формулами (2).

В подпространстве, порожденном каждой группой, есть собственный вектор, например, в подпространстве, порожденном векторами e₁,e₂,…,e_p, таким собственным вектором является e₁.

Вектор e₂ называют иногда присоединенным вектором первого порядка. Это значит, что Ae₂ пропорционально e₂ с точностью до собственного вектора, как это видно из равенства

Ae₂ = λ₁e₂ + e₁

Аналогично e₃,e₄,… называют присоединенным векторами второго, третьего и т.д. порядков

Каждый из них является «как бы собственным», т.е. собственным с точностью до присоединенного вектора низшего порядка

Ae_k = λ₁e_k + e_k-1

Таким образом, базис каждого инвариантного подпространства состоит из одного собственного вектора и такого же количества присоединенных векторов, которое нужно добавить, чтобы получить базис данного подпространства.

Покажем, что в каждом из этих подпространств имеется, c точностью до множителя, лишь один собственный вектор.

Выпишем матрицу преобразования (2). Так как векторы каждой группы преобразуются в линейные комбинации векторов той же группы, то в первых p столбцах матрицы преобразования могут быть отличны от нуля лишь элементы первых p строк, в следующих q столбцах могут быть отличны от нуля лишь элементы, стоящие в строках с теми же номерами, что и у этих столбцов, и т.д. Таким образом, в данном базисе матрица преобразования будет состоять из k клеток, расположенных по главной диагонали, а все элементы, не принадлежащие ни одной из этих клеток, будут равны нулю.

Для того, чтобы понять, что стоит в каждой клетке матрицы преобразования, достаточно еще раз написать, как преобразуются векторы одной группы. Мы имеем:

Ae₁ = λ₁e₁,

Ae₂ = e₁ + λ₁e₂,

………………………………………..

Ae_p-1 = e_p-2 + λe_p-1,

Ae_p = e_p-1 + λ₁e_p.

Вспоминая, как строится матрица, отвечающая данному преобразованию базиса, получаем, что клетка матрицы, соответствующая данной группе векторов, имеет вид 1

(1) (2)

Вся же матрица оказывается составленной из таких клеток порядков p,q,…,s соответственно, т.е. имеет вид 2, где все элементы вне клеток – нули.

Заметим также, что не все λ_i обязаны быть различными.

32. λ – матрицы. Элементарные преобразования λ – матриц. Доказать, что всякую λ – матрицу путем элементарных преобразований можно привести к нормальной диагональной форме.

Def: λ – матрицей называется матрица, элементами которой являются многочлены относительно некоторой буквы λ. Степенью λ – матрицы называется наивысшая из степеней многочленов, входящих в состав матрицы.

Элементарными преобразованиями λ-матриц называются преобразования следующих типов:

1) Перестановка между собой двух каких-либо строк или столбцов матрицы

2) Прибавление к строке какой-либо другой строки, умноженной на некоторый многочлен j(λ), и, аналогично, прибавление к столбцу другого столбца, умноженного на некоторый многочлен.

3) Умножение строки или столбца на некоторое число, отличное от нуля

Теорема: Всякая λ-матрица может быть элементарными преобразованиями приведена к виду

diag(E_i(λ)), i=1,n, где многочлены E_k(λ), стоящие по диагонали, имеют старшие коэффициенты, равные единице, многочлен E₂(λ) делится на E₁(λ), E₃(λ) делится на E₂(λ), E₄(λ) на E₃(λ) и т.д. Этот вид называется нормальной диагональной формой λ-матрицы.

Конечно, некоторое число последних многочленов E_k(λ) в матрице (4) может оказаться равным нулю: E_r+1(λ) = E_r+2(λ) = … = 0. Мы можем считать, что a₁₁(λ)≠0, так как, если в матрице есть хоть один элемент, отличный от нуля, то перестановками строк и столбцов его можно перевести на это место. Если не все элементы матрицы делятся на a₁₁(λ), то мы можем способом, заменит матрицу эквивалентной, в которой элемент, стоящий в левом верхнем углу, имеет более низкую степень и по-прежнему отличен от нуля. Если не все элементы делятся на него, ты мы можем опять понизить степень этого элемента и т.д. Процесс закончится, когда мы придем к матрице B(λ), в которой все элементы делятся на b₁₁(λ). Так как элементы b₁₂(λ),…,b_1n(λ) первой строки делятся на b₁₁(λ), то вычитая из второго, третьего и т.д. столбца первый, умноженный на соответственно подобранные многочлены от λ, мы можем обратить в нуль 2-й, 3-й,…,n-й элементы первой строки. Аналогично обратим в нуль все элементы, начиная со второго, в первом столбце. Так как в матрице B(λ) все элементы делились на b₁₁(λ), то в полученной матрице все элементы также делятся на b₁₁(λ). Разделим все элементы первой строки на старший коэффициент многочлена b₁₁(λ). На первом месте получится многочлен со старшим коэффициентом 1, который мы обозначим через E₁(λ), а на остальных местах будут по-прежнему нули. Мы пришли, таким образом, к матрице следующего вида:

все элементы которой делятся на E₁(λ). Мы теперь можем повторить с матрицей (n-1)-го порядка ||c_ik(λ)|| те же операции, что с матрицей n-го порядка. Заметим, что всякое элементарное преобразование матрицы ||с_ik|| есть в то же время элементарное преобразование матрицы (3), так как в первой строке и столбце все элементы, кроме E₁(λ), равны нулю. Таким образом, мы обратим в нуль все элементы второй строки и второго столбца, кроме диагонального. Полученный диагональный элемент (старший коэффициент которого также считаем равным единице) обозначим E₂(λ). Все элементы c_ik(λ) делятся на E₁(λ). Поэтому все дальнейшие элементарные преобразования всегда приводят нас к элементам, делящимся на E₁(λ). В частности, E₂(λ) делится на E₁(λ). Мы пришли, таким образом, к матрице у которой в первых двух строках и столбцах все элементы, кроме диагональных, равны нулю, а по диагонали стоят E₁(λ) и E₂(λ), причем E₂(λ) делится на E₁(λ). Мы сможем продолжать этот процесс далее, пока не приведем всю матрицу к диагональному виду. Может, конечно, оказаться, что мы закончим процесс раньше, придя к матрице, состоящей сплошь из нулей.

33. Доказать, что нормальная диагональная форма λ – матрицы определяется однозначно.

Теорема: Нормальная диагональная форма данной λ-матрицы A(λ) определяется по ней однозначно. Если D_k(λ) (k=2,3,…,r) – наибольший общий делитель миноров k-го порядка матрицы A(λ), а D_r+1(λ) = … = D_n(λ) = 0, то элементы нормальной диагональной формы определяются по формулам

E_k(λ) = (k=1,2,…,r)

E_r+1(λ) = E_r+2(λ) = … = E_n(λ) = 0

Доказательство: Мы показали, что при элементарных преобразованиях многочлены D_k(λ) не меняются. Поэтому, если матрица A(λ) эквивалентна диагональной нормальной матрице, то D_k(λ) у них совпадают. Так как для матрицы мы получили, что D_k(λ) = E₁(λ)…E_k(λ) (k=1,2,…,r; r<=n) и что D_r+1(λ) = D_r+2(λ) = … = D_n(λ) = 0, то теорема доказана