Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теорема. Критерий эквивалентности двух матриц.
Для того, чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентными ó чтобы они имели один и тот же ранг. Доказательство: -> Ранг произведения двух матриц не превосходит ранга любой из них. При умножении какой-либо матрицы на невырожденную матрицу ранг ее не меняется, поэтому эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг. Можно показать и обратное, что матрицы одинаковых рангов эквивалентны между собой. Мы докажем, что всякая матрица ранга r эквивалентна Ir(единичной матрице размерности r). Пусть дана прямоугольная матрица размера nxm. Она определяет некоторый линейный оператор А, отображающий пространство Х с базисом е в пространство Y с базисом g. Обозначим через r число линейно независимых векторов среди образов векторов базиса Ae1,...,Aen. Не нарушая общности можно считать, что линейно независимыми являются векторы Ae1,...,Aer. Остальные векторы выражаются через них. Определим новый базис следующим образом: . Тогда, если мы возьмем и рассмотрим образ i-го базисного вектора f, то Afi=θ для i=r+1,n. Векторы h1...hr – линейно независимы, а это векторы из Y. Дополним их некоторыми векторами hr+1,...,hm До базиса в линейном пространстве Y. И рассмотрим матрицу оператора А в новых базисах f1...fn и h1...hm. Коэффициенты i-го столбца этой матрицы совпадает с коэффициентами вектора Afi в базисе h. Согласно соотношениям матрица А будет совпадать с матрицей Ir. Т.к. А и Ir соответствуют одному и тому же оператору, то они эквивалентны. Def: А называется подобной матрице B если существует такая невырожденная матрица P, что A=P-1BP. 1) Если А подобна В, то В подобна А. 2)Если А подобна В, а В подобна С, то А подобна С. Поскольку признак подобия удовлетворяет условиям рефлексивности, симметричности и транзитивности, он является отношением эквивалентности. 10. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Доказать, что в комплексном линейном пространстве всякий линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор. Def: Подпространство L линейного пространства X называется инвариантным, относительно А, если для xÎL верно: AxÎL. Всякий линейный оператор имеет по крайней мере 2 тривиальных инвариантных подпространства: 1) Нулевое подпространство 2) Все пространство Х.
Пусть L1 – одномерное подпространство, порожденное ненулевым вектором Х. Ясно, что для того, чтобы L1 было инвариантным ó Ax Î L1. Ax=λx; Def: Вектор х ≠ θ, удовлетворяющий Ax=λx называется собственным вектором, а соответствующее ему число λ - собственным значением. Все отличные от нуля векторы инвариантного подпространства являются собственными. Теорема. В комплексном линейном пространстве Х линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор. Доказательство. Пусть в линейном пространстве Х выбран базис e1,...,en. В этом базисе А соответствует матрица Ае=[aij]. Выберем произвольный х Î Х. х = α1e1+...+ αnen. А координаты β выражаются формулами: . . Переносим и группируем. Для доказательства теоремы нужо показать, что λ и числа α1,...,αn не все равные нулю, удовлетворяющие системе 2. Условием существования ненулевого решения системы 2 является равенство нулю ее определителя. det(A-λI)=0. Мы получили уравнение n-ой степени, относительно λ. Это уравнение имеет хотя бы один корень (в общем случае комплексный) λ0. Подставив в систему 2 вместо λ λ0 получим однородную СЛАУ с нулевым определителем, имеющую ненулевое решение. Тогда вектор х, удовлетворяющий этому решению будет собственным вектором, соответствующим собственному значению λ0. 11. Доказать, что а) характеристический многочлен не зависит от выбора базиса; б) система собственных векторов, соответствующих попарно различным собственным значениям, линейно независима; в) собственные векторы линейного оператора, соответствующие одному собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют подпространство. Связь между линейными операторами и билинейными формами в унитарном пространстве. Определение. Многочлен, стоящий в левой части уравнения называется характеристическим многочленом матрицы оператора А, а само уравнение называет характеристическим или вековым уравнением этой матрицы. Теорема 2. Характеристический многочлен не зависит от выбора базиса. Доказательство. Зафиксируем в пространстве Х некоторый базис и обозначим через матрицу оператора А в этом базисе. Пусть в некотором базисе оператор имеет матрицу . Тогда .
Теорема 3. Если линейный оператор А имеет n линейно независимых векторов (является оператором простой структуры), то, выбрав их в качестве базиса линейного пространства, мы приведем матрицу линейного оператора к диагональной форме. Обратно, если в некотором базисе матрица линейного оператора диагональна, то все векторы этого базиса являются собственными векторами. Доказательство. Пусть А – линейный оператор, который имеет n линейно независимых векторов, где и пусть - его линейно независимые собственные векторы: . Выберем , как базис Х. В этом базисе матрица оператора будет диагональной, на диагонали будут собственные значения. Теорема 4. Система собственных векторов , соответствующая попарно различным собственным значениям , линейно независима. Доказательство. (через математическую индукцию). 1. n=1. Т.е. . Теорема верна. 2. Пусть теорема верна для n-1 векторов, т.е. линейно независимы. 3. Докажем, что теорема верна для n векторов (от противного): Теорема 5. Если характеристический многочлен линейного оператора А имеет n различных корней, то матрица линейного оператора А может быть приведена к диагональной форме. Доказательство. Каждому корню характеристического уравнения отвечает хотя один собственный вектор. Т.к. у этих собственных векторов собственные значения различны, то по теореме 4 мы имеем n линейно независимых векторов . Если эти векторы принять за базис, то матрица линейного оператора А в нем будет диагональной. Теорема 6. Собственные векторы линейного оператора А, соответствующие собственному значению , вместе с нулевым вектором образуют подпространство пространства Х. Доказательство. Пусть - два собственных вектора линейного оператора А, соответствующие одному собственному значению . Нужно показать, что - тоже собственный вектор: . Указанное подпространство, порожденное собственным значение, является ядром оператора . Утверждение. Всякому линейному оператору А в линейном пространстве с определенным скалярным произведением отвечает билинейная форма , задаваемая соотношением: . Проверка на корректность: 1) 2) . Проверка на однозначность: Утверждение. Каждой билинейной форме в линейном пространстве со скалярным произведением отвечает линейный оператор А такой, что: . 12. Операция перехода от оператора A к сопряженному . Свойства операции . Нахождение матрицы сопряженного оператора в ортонормированном (ортогональном) базисе. Нахождение матрицы сопряженного оператора в ортонормированном базисе. Пусть в линейном пространстве Х выбран ортонормированный базис и . Матрица сопряженного оператора Теорема 1. Формула (1) устанавливает в линейном пространстве со скалярным произведением взаимно однозначное соответствие между билинейными формами и линейными операторами. Связь между ними можно установить также другим способом . При этом матрица линейного оператора получается из матрицы оператора А в ортонормированном базисе путем транспонирования и комплексного сопряжения ее элементов.
Определение. Оператор называется сопряженным к линейному оператору А, если . Свойства операции : 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-24; просмотров: 974; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.216.186.164 (0.011 с.) |