Квадратичные формы Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

Линейная алгебра.

1. Билинейные формы в вещественном линейном пространстве. Матрица билинейной формы и ее преобразование при изменении базиса.

Def: Линейная функция: В линейном пространстве L над полем R задана линейная функция (линейная форма), если каждому вектору х Î L поставлено в соответствие число f(x) так, что при этом выполняется следующее: 1) f(x+y)=f(x)+f(y); 2) f(λx)=λf(x)

Def: А(x;y) называется билинейной формой от векторов x,y Î L(вещ.лин.пр-ва), если

1) При фиксированных y A(x;y) – есть линейная функция от х;

a. A(x₁+x₂;y)=A(x₁;y)+A(x₂;y)

b. A(λx;y)=λA(x;y)

2) При фиксированных х A(x;y) – есть линейная функция от у

a. А(х;у₁+у₂)=А(х;у₁)+А(х;у₂)

b. А(x;λy)=λA(x;y)

Def: Линейная форма называется симметрической, если для все x,yÎL выполняется: A(x;y)=A(y;x) (Скалярное произведение в Евкл. Пространстве является примером симметрической формы).

Выберем в линейном пространстве L базис e₁,e₂,…,e_n и выразим билинейную форму через координаты α_i и β_i векторов x,y соответственно в этом базисе. Тогда . Где a_ij=A(e_i;e_j). Тогда . Где матрица – матрица билинейной формы A(x;y) в базисе e₁,...,e_n

Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса.

Пусть в n-мерном пространстве даны 2 базиса e₁,...,e_n и f₁,...,f_n и векторы f выражаются через векторы e с координатами с_ij. Тогда матрица С=[с_ij] (i,j=1..n) – матрица перехода от базиса e к базису f. С-невырожденная, С^-1 – матрица перехода от f к e. Пусть А=[a_ik] – матрица билинейной формы в базисе е, а B=[b_ik] – матрица той же билинейной формы, но в базисе f. Найдем по матрице А матрицу В. . То есть B=C^TAC.

Квадратичные формы Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

Def: Пусть А(х;у) – симметрическая билинейная форма. Функция А(х;х), которая получается их а(х;у) путем подстановки y=x называется квадратичной формой. При этом А(х;у) называется билинейной формой, полярной к А(х;х). Таким образом каждой симметрической билинейной форме соответствует одна квадратичная форма. Справедливо и обратное. При заданном базисе всякая квадратичная форма выражается формулой: , где a_ik – значение билинейной формы A(e_i;e_k).

Def: Квадратичная форма называется положительно определенной, если для  x≠0 A(x;x)>0.

Пусть А(х;х) – положительно определенная квадратичная форма, а А(х;у) ее полярная форма. Тогда: 1) А(х;у)=A(y;x) 2)A(x₁+x₂;y)=A(x₁;y)+A(x₂;y) 3)A(λx;y)=λA(x;y) 4)A(x;x)=0 ó x=0;

Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Определители Грамма.

Критерий Сильвестра.

Пусть А(х;у) – симметричная билинейная форма и f₁,...,f_n – базис n-мерного вещественного пространства L. Для того, чтобы квадратичная форма А(х;х) была положительно определена ó главные миноры были положительны.

Доказательство: -> Пусть А(х;х) – положительно определенная квадратичная форма. Покажем, что главный минор Δk>0. Предположим, что Δk=0. Тогда одна из строк есть лиейная комбинация остальных. То есть их линейная комбинация может быть равна нулю при неравных нулю коэффициентах μ_i. Тогда (выписывая коэффициенты при μ) μ₁A(f₁;f_i)+...+μ_kA(f­_k,f_i)=0 для  i=1..k.

A(μ₁f₁+...μ_kf_k;f_i)=0

A(μ₁f₁+...μ_kf_k; μ₁f₁+...μ_kf_k)=0. Значит μ₁f₁+...μ_kf_k=0. Противоречие, значит Δk ≠ 0 и А(x;x) можно привести к каноническому виду. Где . Отсюда, λ₁>0(Δ₁>0), λ₂>0(Δ₁>0,Δ­₂>0),...

<- Если Δ₁>0,... то  базис e₁,...,e_n в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Причем все λ_i >0/ Следовательно А(х;х)>0 для всех х. Т.е. Ах;х) – положительно определенная квадратичная форма.

Определители Грамма.

Выберем в качестве квадратичной формы скалярное произведение А(х;х)=(х,х). Пусть e₁,...,e_n – векторы в пространстве E. Тогда - определитель Грамма.

Теорема. Определитель Грамма любой системы векторов всегда ≥0. Причем =0 ó e₁,...,e_k - линейно зависимы.

Доказательство: Пусть e₁,...,e_k - линейно независимы. Рассмотрим А(х;у)=(х,у). Тогда определитель Грамма есть определитель матрицы B=[α_ij]=[A(e_i;e_j)]. ΔB = Δk. Т.к. А(х;х) – положительно определенная квадратичная форма, то из критерия Сильвестра: Δk>0. Если e₁,...,e_k – линейно зависимы, то одна из строк есть линейная комбинация всех остальных, значит определитель Грамма равен нулю.

Определение.

Пусть дан линейный оператор А:Х->Y, dimX=n. И некоторым базисом Х является e₁,...,e_n. dimY=m; g₁,...,g_m – базис Y. x=α₁e₁+...+α_ne_n. Ax= α₁Ae₁+...+α_nAe_n. Другими словами, лиейный оператор полностью определяется совокупностью образов Ae_i базисных векторов е. y Î L(Ae₁,...,Ae_n). Ae_j – вектор, содержащийся в Y и значит его можно разложить по базису Y. (*) Ae_j=a_1jg₁+...+a_njg_n. Коэффициенты a_ij определяют некоторую матрицу, в которой n строчек и n столбцов. Эту матрицу назовем матрицей А в базисах e₁,...,e_n g₁,...,g_n. Столбцами матрицы оператора служат координаты векторов Ае­₁,...,Ае_n в базисе g. Для того, чтобы определить элемент a_ij нужно найти образ Ae_j­­ и взять его i-ую координату.

Утверждения.

1) Для того, чтобы линейный оператор А был эрмитовым необходимо и достаточно, чтобы соответствующая ему билинейная форма была эрмитовой: .
Доказательство.
Необходимость. ;
Достаточность.

2) Всякий линейный оператор А может быть записан в виде .

Замечание. Пусть А и В – самосопряженные линейные операторы. Для того, чтобы оператор АВ был самосопряженным необходимо и достаточно, чтобы АВ=ВА, т.е. чтобы линейные операторы А и В были перестановочными.

Лемма 1. Собственные значения самосопряженного линейного оператора вещественные.

Доказательство. Пусть х – собственный вектор линейного оператора А и - его собственное значение:

Лемма 2. – самосопряженный линейный оператор, а е – его собственный вектор. Тогда совокупность есть (n-1)-мерное подпространство, инвариантное относительно линейного оператора А.

Доказательство. Х, как ортогональное дополнение к есть (n-1)-мерное подпространство в Х. Покажем, что это подпространство инвариантно относительно оператора А: .

Теорема 1. Для любого самосопряженного линейного оператора в n-мерном унитарном пространстве существует n попарно ортогональных собственных векторов, соответствующие им собственные значения вещественны.

Доказательство. В Х существует хотя бы собственный вектор линейного оператора А. По лемме 2 совокупность векторов ортогональных образует (n-1)-мерное инвариантное подпространство . Будем рассматривать линейный оператор . Продолжая этот процесс, мы получим в результате n попарно ортогональных собственных векторов . Согласно лемме 1, соответствующие собственные значения вещественны.

Теорема 2. А – самосопряженный линейный оператор в n-мерном унитарном пространстве, тогда существует ортогональный базис, в котором матрица линейного оператора А диагональна и вещественно. Верно и обратное.

Доказательство.

Необходимость. Выберем в качестве базиса построенные при доказательстве теоремы 1 собственные векторы и пронормируем их. В этом базисе матрица оператора имеет вид: (1).

Достаточность. Пусть матрица оператора А в ортонормированном базисе имеет вид (1). Итак, в ортонормированном базисе матрица получается из матрицы линейного оператора А транспонированием и заменой каждого элемента комплексным сопряжением. Проделав эти операции над матрицей вида (1), где все - вещественные, мы получим ту же матрицу, следовательно А и соответствует одна и та же матрица, т.е. .

Теорема 3. Собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Доказательство. Пусть у линейного оператора А имеются

Определение. Матрица называется эрмитовой, если .

Теорема 4. Для того, чтобы линейный оператор А был самосопряженным необходимо и достаточно, чтобы его матрица была эрмитовой.

Теорема 5. Пусть в n-мерном унитарном пространстве Х задана эрмитова билинейная форма. Тогда в Х существует ортонормированный базис, в котором соответствующая билинейная квадратичная форма, записывается в виде: - координаты Х.

Доказательство. Пусть - эрмитова билинейная форма, т.е. . Тогда существует самосопряженный линейный оператор А такой, что . Выберем в качестве базиса Х ортонормированную систему собственных векторов самосопряженного линейного оператора А (по теореме 1). Тогда .

.

Утверждения.

1) Всякий унитарный оператор U в унитарном пространстве сохраняет скалярное произведение. Всякий линейный оператор U, сохраняющий скалярное произведение, унитарен.
Доказательство.
Необходимость. .
Достаточность.

2) Унитарный оператор не меняет длину векторов.
Доказательство. Заменим условие унитарности линейного оператора в матричном виде: выберем ортогональный базис в Х и построим линейный оператор U в этом базисе: (1). (2).
Вывод. (3). Условие эквивалентно ортонормированности строк матрицы унитарного оператора. Условие (4) эквивалентно ортонормированности строк матрицы унитарного оператора.

3) В ортонормированном базисе строки и столбцы матрицы унитарного оператора U ортонормированные.

4) Рассмотрим скалярное произведение . Следовательно, для того, чтобы линейный оператор U был унитарным необходимо и достаточно, чтобы он переводил какой-либо ортонормированный базим в ортонормированный базис .

Определение. Матрица с элементами , удовлетворяющая условиям (3, 4), называется унитарной матрицей.

Замечание. Т.к. переход от одного ортонормированного базиса к другому осуществляется унитарным оператором, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому такому же является унитарной.

Лемма 1. Собственные значение унитарного оператора по модулю равны 1 (лежат на окружности единичного радиуса).

Доказательство. Пусть х – собственный вектор унитарного оператора U и - соответствующее собственное значение: . Рассмотрим

Лемма 2. Пусть унитарный оператор U, действующий в n-мерном пространстве Х, а е – его собственный вектор. Тогда (n-1)-мерное пространство , состоящее из векторов инвариантно относительно U.

Доказательство. пространство инвариантно.

Теорема 1. Для любого унитарного оператора в n-мерном пространстве существует n попарно ортогональных собственных векторов, соответствующие им собственные значения по модулю равны 1.

Доказательство. Унитарный оператор U имеет в Х хотя бы один собственный вектор, обозначим его через . По лемме 2 (n-1)-мерное подпространство , состоящее из всех векторов пространства Х ортогональных к , инвариантно относительно унитарного оператора U. Продолжая это процесс, мы получим n попарно ортогональных собственных векторов унитарного оператора U. По лемме 1 собственные значения, соответствующие собственным векторам, по модулю равны 1.

Теорема 2. Для любого унитарного оператора U в n-мерном пространстве Х существует ортонормированный базис, в котором матрица этого оператора диагональна: (5).

Доказательство. Пусть U – унитарный оператор, тогда по теореме 1 существует ортонормированный базис пространства Х из собственных векторов унитарного оператора U: . В этом базисе матрица U имеет вид (5), а числа в силу леммы 1.

15. Спектральная характеристика нормального оператора. Критерий простоты структуры линейного оператора.

Определение. Линейный оператор называется нормальным, если .

Замечание. Унитарные и самосопряженный линейные операторы являются частными случаями нормальных операторов.

Теорема. Спектральная характеристика нормального оператора. Для того, чтобы существовал ортонормированный базис, в котором линейный оператор приводится к диагональной форме, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство.

Необходимость. Пусть в некотором ортонормированном базисе матрица оператора А диагональна , т.к. базис ортонормированный, то матрица оператора будет (транспонирование, сопряжение). Следовательно, .

Достаточность. Пусть . Покажем, что у операторов А и существует общий собственный вектор :

Линейная оболочка будет одномерным инвариантным подпространством, а будет также инвариантным подпространством. Докажем это:

Пусть . также будет принадлежать , т.к. . Рассмотрим теперь действие оператора А из ()… Продолжая этот процесс, получим ортогональный базис из собственных векторов, нормируем его – нормированный.

Определение. называется оператором простой структуры, если А имеет n линейно независимых собственных векторов.

Теорема. Критерий простоты структуры линейного оператора. Для того, чтобы линейный оператор А имел простую структуру необходимо и достаточно, чтобы для любого корня характеристического уравнения кратности ранг .

Доказательство.

Необходимость. А – оператор простой структуры. Следовательно, существуют n линейно независимых векторов, выбирая которые в качестве базиса L, получим, что матрица линейного оператора в базисе имеет вид: . Причем среди могут быть одинаковые. Если через А обозначить матрицу линейного оператора в некотором произвольном базисе , то , где Р – матрица перехода от базиса е из собственных векторов к базису f. Следовательно , т.е. и подобны и имеют одинаковый ранг. . числу отличных от нуля ее диагональных элементов, т.е. числу корней характеристического уравнения неравных , т.о. .

Достаточность. Пусть - различные собственные значения оператора А. Собственные векторы, отвечающие собственному значению , образуют подпространство в L размерностью . Следовательно, линейный оператор А имеет линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению . Т.о. мы имеем собственных векторов . Покажем, что они линейно независимы в совокупности (от противного). Пусть это не так и равенство нулю линейной комбинации возможно при ненулевых коэффициентах. Следовательно, пусть . Введем линейный оператор .

16. Достаточный признак оператора простой структуры. Доказать, что у всякого линейного оператора в вещественном пространстве существует одномерное (двумерное) инвариантное подпространство.

Теорема. Достаточный признак оператора простой структуры. Если все корни характеристического уравнения различны, то линейный оператор А имеет простую структуру.

Доказательство. Пусть . Покажем, что система линейно независима: (1). Подействует линейным оператором : (2). Подействует на (2) линейным оператором : (3). Продолжая процесс вплоть до оператора получим (4). Заметим, что (4) – это результат приложения оператора к исходному уравнению. Из (4) следует . Если к исходному уравнению применить оператор можно показать, что . И вообще соответствующим выбором оператора можно добиться, что все . Следовательно, - линейно независимы, а А – оператор простой структуры.

Теорема 1. У всякого линейного оператора в вещественном пространстве существует одномерное (двумерное) инвариантное подпространство.

Доказательство. Выберем в линейном пространстве Х базис . В этом базисе линейному оператору А соответствует матрица , преобразующая координаты в координаты . Рассмотрим условие в координатной форме:

(1)

Тогда ненулевое решение (1) существует, если (2). И пусть - корень уравнения (2). Возможны два случая:

1) - вещественное, тогда существует решение системы (1), определяющее координаты собственного вектора х. х порождает одномерное инвариантное пространство;

- комплексное (). Пусть - это решение системы (1). Подставим эти числа в (1) и отделим вещественную часть от мнимой.
(3).
Будем считать - координатами некоторого вектора х, а - координатами у, тогда (4). Равенство (4) означает, что линейная оболочка есть двумерное инвариантное подпространство относительное оператора.

Свойства.

1) ортогональный оператор сохраняет длины векторов;

2) ортогональный оператор сохраняет углы между векторами.
Доказательство.

3) Если - ортонормированный базис в Х, то тоже образуют ортонормированный базис в Х.
Доказательство.

4) Матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе имеет ортонормированные строки и столбцы.

5) Определитель матрицы ортонормированного оператора равен .
Доказательство. .

6) Ортогональный оператор всегда не вырожден.

7) Тождественный оператор является ортогональным.

8) Произведение ортогональных операторов снова будет ортогональным оператором.
Доказательство.

9) Оператор, обратный ортогональному, тоже ортогональный.
Доказательство. .

10) Линейный оператор, переводящий хотя бы один базис в ортонормированный, является ортогональным.
Доказательство.

Определение. Ортогональные операторы, определитель матрицы которых равен 1, называются собственными, у которых равен –1, несобственными.

Лемма 3. Если - подпространство евклидова пространства Х, инвариантное относительно ортогонального оператора А, то его ортогональное дополнение также является инвариантным пространством.

Доказательство. Если взять . Поскольку А – ортогональный оператор, он не вырожден и его образ на любом инвариантном подпространстве совпадает с этим пространством, поэтому х имеет свой прообраз .

Теорема 4. Матрица ортогонального оператора в некотором ортонормированном базисе имеет вид:

Доказательство. По теореме 1 (билет 16) любой линейный оператор в n-мерном евклидовом пространстве имеет одномерное или двумерное инвариантное подпространство . Если - одномерное и инвариантное относительно нашего линейного оператора пространство, то найдем е, порождающий . На этом подпространстве линейный оператор имеет вид . Если же - двумерное пространство и определитель А является собственным оператором, то имеет матрицу . По лемме 3, ортогональное дополнение будет также инвариантным относительно ортогонального оператора А. Рассмотрим действие А на ортогональное дополнение, и, проведя точно такой же анализ, мы получим еще одномерное и двумерное подпространство. Продолжая этот процесс, получим ортонормированный базис, в котором матрица ортогонального оператора имеет требуемую структуру. 1 и –1 отвечают одномерным инвариантным пространствам, а клетки с соответствуют двумерным инвариантным пространствам.

 

19. Определение аффинного пространства. Различные способы задания прямой в аффинном пространстве (векторный, в параметрическом виде, канонический, по двум точкам). Угол между прямыми. Нахождение расстояния от данной точки до данной прямой. Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую.

Def: пусть задано n-мерное векторное пространство Vⁿ над полем F и непустое множество Aⁿ, элементы которого будем называть точками. Предположим, что  упорядоченной паре точек M,N Î Aⁿ поставлен в соответствие вектор пространства Vⁿ, обозначаемый , причем выполнены следующие аксиомы:

1)Для  M Î Aⁿ и  a Î Vⁿ  единственная точка N Î Aⁿ, что =a 2) Для  трех точек L,M,N Î Aⁿ имеет место .

Тогда множество Aⁿ называется n-мерным аффинным пространством, связанным с векторным пространством Vⁿ.

Способы задания прямой:

Def: Будем называть прямой в аффинном пространстве множество точек этого пространства, получаемых из одной его точки всеми переносам, векторы которых коллинеарны. Т.к. векторы этих переносов имеют вид at, где t Î R, радиус-векторы прямой имеют вид (1) x=x₀+at.

1) Уравнение 1 называется векторным уравнением прямой. При этом а – направляющий вектор. Две различные прямые, полученные из различных точек одними и теми же переносами, называются параллельными.

2) Координатные уравнения прямой. Уравнение 1 равносильно n координатным уравнениям (2) x_i=x₀+a_it. Уравнение 2 – параметрическое уравнение прямой. Разрешая его относительно T и приравнивая полученные выражения получаем: - каноническое уравнение прямой.

3) Уравнение прямой по двум точкам. Если задано две точки M₀(x₀) и M₁(x₁), то за направляющий вектор прямой, проходящей через эти две точки можно принять =x₁-x₀ . Поэтому векторное уравнение этой прямой может быть записано в виде x=x₀+(x₁-x₀)t, а каноническое уравнение:

Расстояние от точки до прямой. Расстояние w от точки M(r) до произвольной точки прямой определяется соотношением (7): . Исследуя w² как функцию от t. (8) - это значение даст минимальное расстояние. Подставляя 8 в 7 получаем:

Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую. Требуя, чтобы отрезок MN, соединяющий М(х) с некоторой точкой N прямой, был перпендикулярен направляющему вектору а этой прямой, т.е. чтобы вектор x-x₀-at был ортогонален а. (x-x₀-at,a)=0. Значение t, удовлетворяющее этому условию совпадает с 8. Это совпадение |-> основание N перпендикуляра, опущенного из данной точки М на прямую, совпадает с той точкой прямой, которая находится на минимальном расстоянии от данной точки.

20. Взаимное расположение двух прямых. Нахождение кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися прямыми. Общий перпендикуляр двух прямых.

Взаимное расположение двух прямых. Если две прямые в n-мерном аффинном пространстве, определяющиеся уравнениями (10) пересекаются (имеют одну общую точку), т.е. существуют такие значения t и u, когда . Т.е. линейно независимы. Если две прямые, заданные уравнения (10) параллельны и их направляющие векторы а, b коллинеарны, т.е. . Т.о. опять линейно зависимы. Покажем, что справедливо обратное, т.е. если векторы линейно зависимы, то прямые (10) пересекаются или параллельны. Действительно, если , то прямые параллельны; если же векторы а и b неколлинеарны, то вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов а и b, т.е. в виде: . Поэтому точка, радиус-вектором которой является этот вектор, есть точка пересечения данных прямых. Т.о. необходимым и достаточным условием того, что две прямые, заданные выражением (10), пересекаются или параллельны, является линейная зависимость тройки векторов . Если же вышеописанная тройка линейно независима, то прямые скрещиваются.

Кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Найдем кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми l и m, которые записаны уравнением (10):

(13)

Вектор MN имеет вид:

Вычислим теперь : Общий перпендикуляр двух прямых. Требуем, чтобы отрезок, соединяющий произвольные точки двух данных прямых (10), был перпендикулярен направляющим векторам а и b обеих прямых. Мы получили условие (14), отсюда находим, что значение t и u, удовлетворяющие этому условию, совпадают со значением (15). Это совпадение показывает, что основания общего перпендикуляра двух прямых совпадают с теми точками эти прямых, расстояние между которыми минимально.

21. Различные способы задания плоскостей (векторный, в параметрическом виде, по точке и нормали, по точке и направляющим векторам, по n точкам). Основная теорема о плоскости. Угол между плоскостями. Условие принадлежности n+1 точки одной плоскости.

Определение. Будем называть m-мерной плоскостью аффинного пространства или m-плоскостью множество всех точек этого пространства, полученных из одной его точки всеми переносами, векторы которых коллинеарны и принадлежат одному линейному пространству.

Т.к. векторы этих переносов имеют вида , где принимает все вещественные значения, то радиус-векторы точек m-плоскости имеют вид? (1) – векторное уравнение m-плоскости. Векторы называются направляющими векторами m-плоскости.

Замечание. Прямые можно рассматривать, как 1-плоскость; точки – как 0-плоскость.

Определение. Различные плоскости, получающиеся из различных точек одними и теми же переносами, называются параллельными плоскостями. ().

Уравнение (1) равносильно (2) – параметрическое (координатное) уравнение m-плоскости в координатах.

Если задано m+1 точек и векторы линейно независимы, то эти точки определяют единственную m-плоскость, проходящую через них. В этом случае за направляющие векторы этой плоскости можно принять векторы , и векторное уравнение m-плоскости может быть записано в виде: (3).

Определение. Будем называть m-плоскость, определяемую точками - m-плоскостью .

Определение. Если m=n-1, то такая плоскость называется гиперплоскостью или просто плоскостью.