Приведение к сумме квадратов методом Лагранжа.

Покажем как привести квадратичную форму к сумме квадратов, т.е. выбрать такой базис в котором квадратичная форма имеет наиболее простой(канонический) вид. А именно: . [Смысл заключается в поочередном выделении полных квадратов вида (a²+2ab+b²) и сворачивании их в (a+b)², а потом замене на другую переменную.

Теорема: Пусть в n-мерном вещественном пространстве L задана произвольная квадратичная форма А(х;х). Тогда в L  базис e₁,...,e_n, в котором эта квадратичная форма примет канонический вид. Доказательство: вытекает из самого метода Лагранжа.

Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Якоби.

В отличие от метода Лагранжа мы получим формулы, выражающие искомый базис e через базис f сразу. Пусть мы имеем симметричную форму А(х;у) с матрицей А=||a_ij||=||A(f_i;f_j)||. Предположим, что все главные миноры А отличны от нуля (1).(Δ₁≠0,...,Δ_n≠0) Необходимо найти базис e, в котором (2) А(ei;ek)=0 при i≠k. Процесс, с помощью которого это будет сделано напоминает процесс ортогонализации, где в качестве скалярного произведения (х,у) будет выбрано А(х;у). Будем искать векторы e_i в виде: e_i=α_i1f₁ + α_i2f₂+...+α_inf_n. Заметим, что если A(e_k;f_i)=0, i=1..k-1, то A(e_i,e_k)=0. Наша задача свелась к нахождению коэффициентов α_ki(i=1..k). Т.е. чтобы вектор e_k­ удовлетворял условию (4) A(e_k;f_i)=0; Этим условиям удовлетворяет вектор ek с точностью до постоянного множителя, который мы зафиксируем условием (5) A(e_k;e_k)=1. Подставив соотношения 4,5 в выражения для e_k получим СЛАУ относительно α_ki. Определитель этой системы равен Δk и по условию отличен от нуля. Поэтому решение системы существет и единственно. Таким образом задача нахождения вектора e_k нами решена для k; Теперь найдем матрицу В=[b_ik], которые b_ik=A(e_i;e_k) в новом базисе e₁,...,e_n. Во первых, по построению A(ei;ek)=0 при i≠k. Вычислим диагональные элементы b_kk. b_kk=α_kk, где α_kk – решения СЛАУ, которые находятся по формуле α = Δ_k-1/Δ_k.

Теорема 1.  базис e₁,...,e_n в котором А(х;у) записывается в виде суммы квадратов следующим образом (7): , где α₁,...,α_n координаты вектора в базисе e₁,...,e_n.

Теорема 2. Число отрицательных коэффициентов при квадратах координат в каноническом виде 7 квадратичной формы равно числу перемен знака в последовательности определителей Δ₀,...,Δ_n.

Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Определители Грамма.

Критерий Сильвестра.

Пусть А(х;у) – симметричная билинейная форма и f₁,...,f_n – базис n-мерного вещественного пространства L. Для того, чтобы квадратичная форма А(х;х) была положительно определена ó главные миноры были положительны.

Доказательство: -> Пусть А(х;х) – положительно определенная квадратичная форма. Покажем, что главный минор Δk>0. Предположим, что Δk=0. Тогда одна из строк есть лиейная комбинация остальных. То есть их линейная комбинация может быть равна нулю при неравных нулю коэффициентах μ_i. Тогда (выписывая коэффициенты при μ) μ₁A(f₁;f_i)+...+μ_kA(f­_k,f_i)=0 для  i=1..k.

A(μ₁f₁+...μ_kf_k;f_i)=0

A(μ₁f₁+...μ_kf_k; μ₁f₁+...μ_kf_k)=0. Значит μ₁f₁+...μ_kf_k=0. Противоречие, значит Δk ≠ 0 и А(x;x) можно привести к каноническому виду. Где . Отсюда, λ₁>0(Δ₁>0), λ₂>0(Δ₁>0,Δ­₂>0),...

<- Если Δ₁>0,... то  базис e₁,...,e_n в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Причем все λ_i >0/ Следовательно А(х;х)>0 для всех х. Т.е. Ах;х) – положительно определенная квадратичная форма.

Определители Грамма.

Выберем в качестве квадратичной формы скалярное произведение А(х;х)=(х,х). Пусть e₁,...,e_n – векторы в пространстве E. Тогда - определитель Грамма.

Теорема. Определитель Грамма любой системы векторов всегда ≥0. Причем =0 ó e₁,...,e_k - линейно зависимы.

Доказательство: Пусть e₁,...,e_k - линейно независимы. Рассмотрим А(х;у)=(х,у). Тогда определитель Грамма есть определитель матрицы B=[α_ij]=[A(e_i;e_j)]. ΔB = Δk. Т.к. А(х;х) – положительно определенная квадратичная форма, то из критерия Сильвестра: Δk>0. Если e₁,...,e_k – линейно зависимы, то одна из строк есть линейная комбинация всех остальных, значит определитель Грамма равен нулю.