Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума

Рассмотрим функцию z=f(х, у) определенную в некоторой об­ласти.

Максимумом функции z=f(x,y) называется такое ее значение f(, ), которое больше всех других значений, принимаемых в точ­ках М(х,у), достаточно близких к точке М₁(х_],у_}) и отличных от нее, т. е.

f(, )> f(х, у)

Минимумом функции z=f(х, у) называется такое ее значение f(х₂, у₂), которое меньше всех других значений, принимаемых в точ­ках М(х,у), достаточно близких к точке М₂(х₂,у₂) и отличных от нее, т. е.

f(х₂, у_2)< f(х, у)

Максимум и минимум функции называют экстремумом. Точки, в которых достигается экстремум, называются точками экстремума.

Необходимые условия экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных выражается следующими теоремами:

Теорема 1.

В точке экстремума дифференцируемой функции все ее первые частные производные равны нулю,если -экстремум ф-ции.

Теорема 2.

Пусть функция z=/(х,у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М₀(а, b).

Если ее первые частные производные в точке М₀ равны нулю, а вторые принимают значения

(a,b)=A, (a,b)=B, (a,b)=C,

То при

-АС<0 и А>0

точка М₀ является точкой минимума данной функции, а при

В²-АС<0, А<0

точкой максимума, при

В²-АС>0

в точке М₀ экстремума нет.

 

47.Метод наименьших квадратов

При обработке опытных данных часто встречаются с задачей об определении параметров функциональной зависимости между переменными величинами x и y посредством формулы y=f(x).Эта задача решается с помощью метода наименьших квадратов, сущность которого состоит в следующем. При измерении двух величин x и y получены следующие данные:

x	Х1	X2	…	xn
y	Y1	Y2	…	yn

Известен также вид функциональной зависимости, т.е.

y=f(x, , ,…, )=φ(x) (1),

где f-заданная функция; , ,…, — параметры, значения которых требуется определить. Значения у, полученные из формулы (1) при заданных значениях (i=1, 2,..., п), как правило, не совпадают с экспериментальными значениями , приведенными в указанной таблице, т.е. разность -φ() отлична от нуля для всех или некоторых точек (i = 1, 2,..., n). Для каждого i эту разность обозначим через ε , и назовем погрешностью:

-φ()=ε (i = 1, 2,..., п) (2).

Значения параметров (k = 0, 1,..., m) функции (1) тре­буется выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей, т.е. так, чтобы функция

u= ε = ( -φ()) (3)

принимала наименьшее значение. Поскольку эта функция - сумма квадратов некоторых чисел, она принимает неотрицательные значении (каждое слагаемое суммы неотрицательно).

Функция (3) является функцией т+1 переменых , ,..., а_т ,т.е.

и=и(, ,...., а_т)= ( -f(, , ,…, ))² (4).

Если функция и=и(, ..., а_т) имеет непрерывные частные производные по всем переменным, то необходимое условие ее минимума выражается системой уравнений

=0, =0, …, =0 (5)

Из этой системы т +1 уравнений находятся искомые значения пара­метров a₀ ,a₁,...,a_m.

Во многих случаях функция (1) определяется формулой

y= (x), (6)

где (x), (x),..., f _т (x)- известные функции, например, f (x)=x ,f (x)=sin kx, f (x)=cos kx и т.д.

Функция (4) в таких случаях принимает вид

u= y - ()) (7),

а система (5) запишется так:

( - ())(- ())=0 ( - ())(- ())=0(8)

…………………………………….

( - ())(- ())=0

Решение этой системы может быть получено с помощью метода Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

Если (x)= (k = 0, 1, 2,..., m), то

f (x, , ,…, )= + x+ +…+

+ (9)

и система (8) принимает вид:

n+ +…+

= ;

+ +…+ = ; (10)

+ +…+ *

* = .