Общая схема исследования функции и построения её графика

После того как мы обсудили многие аспекты поведения функции и способы их исследования, сформулируем общую схему исследования функции. Эта схема даст нам практический способ построения графика функции, отражающего основные черты её поведения.

Пусть дана функция . Для её исследования нужно:

1). Найти её область определения . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения откладывается до нахождения экстремумов функции.)

2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси ), не является ли она периодической.

3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения , если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции. Поясним сказанное примером:

Пример 7.36 Пусть Эта функция определена на всей числовой оси, однако 0 является точкой разрыва функции: при функция стремится к . Значит, вертикальная прямая служит вертикальной асимптотой функции, хотя функция и определена в точке .

4). Если область определения вклоючает в себя лучи вида или , то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при или соответственно.

5). Найти точку пересечения графика с осью (если ). Для этого нужно вычислить значение . Найти также точки пересечения графика с осью , для чего найти корни уравнения (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удаётся решить лишь приближённо, но уже отделение корней¹⁹ помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.

6). Найти интервалы монотонности функции (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной .

На стыках интервалов монотонности найти точки локального экстремума; вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.

7). Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции. Это делается с помощью исследования знака второй производной . Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции.

8). В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.

После выяснения свойств функции, упомянутых в пунктах 1 - 8, и нахождения опорных точек (точек пересечения с осями координат, точек графика, соответствующих точкам локального экстремума, точкам перегиба и проч.) мы можем достаточно точно построить график.

41. Определение функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Частное и полное приращение функции. Граница и непрерывность функции. Частные производные функций нескольких переменных. Полное приращение и полный дифференциал.

Если каждой паре 2-х независимых переменных (х;у) є Д из области Д можно поставить во взаимное однозначное соответствие некоторого значения z, то z называется функцией 2-х переменных. Z=f(x;y)

Геометрическое изображение функции 2-хпеременных:

Задана функция z=f(x;y) и область определения функции (х;у) є Д тогда геометрическое изображение Z называется совокупностью точек Р(х;у), координаты которых удовлетворяют исходному z=f(x;y).

Геометрическим аналогом функции 2-х переменных есть некоторая поверхность в пространстве проэктирующаяся на плоскости ОХУ в области определения Д.

Частное преращение функции:

Пусть задана функция z=f(x;y), предложим, что у=константа, а х получило преращение в Δх, тогда рассмотрим соответственное преращение функции

F(x+Δx,y)-f(x,y)= ΔxZ это называется частным преращением функции по переменной х.

Аналогично получаем частное преращение по переменной у.

Полное преращение функции:

Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) при чем Δz не равна ΔxZ+ΔyZ

Аналогично находим частное и частное преращение для функции числа переменных.

Непрерывность функции:

Пусть т.М0(х0,у0) є Д функции z=f(x,y) тогда функция z=f(x,y) является неприрывной в т.М0, если выполняется равенство lim f(x,y)=f(x0,y0) где х и у стремятся к х0 и у0 – в этом случае функция называется непрерывной в т. М0(х0,у0)

Существует и 2-ое определение непрерывности:

LimΔz=0 Δx и Δу стремятся к 0

Функция непрерывна в каждой точке области, является непрерывной во всей области.

Частные производные функций нескольких переменных:

Частные производные функции z=f(x;y) по переменной х, называется придел отношения частного преращения по переменной х по Δх, тогда Δх стремится к 0.

Lim ΔxZ/Δх=dz/dx при Δх стремится к 0

Аналогично дается определение по переменной у

Lim ΔуZ/Δу=dz/dу при Δу стремится к 0

При нахождение частной производной по переменной х,у=константа, а когда берем частную производную по переменой у то х=константа.

Определение Если функция z= f(x,y) дифференцируема в точке Р0(х0, у0), то главная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается

dz|p0=df(x0,y0)=f’x(x0,y0) Δx+f’y(x0,y0) Δy.

 

Дифференцирование сложной функции. Полная производная и полный дифференциал. Производная от функции заданной неявно. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент. Касательная и нормальная плоскость к пространственной кривой. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке , а функция g имеет производную в точке , то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке . 5. Частные производные и полный дифференциал 1-го порядка

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, где и Пусть также эти функции дифференцируемы: Тогда их композиция также дифференцируема: и её производная имеет вид:

[Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции где принимает следующий вид:

 

Определение. Производная от функции z=f(x,у) по х, найденная в предложении, что у остается постоянным, называется частной производной от z по х и обозначается или f'_x (x, у). Аналогично определяется и обозначается частная производная z по у.
Если функция z=f(x,у) имеет в точке (х, у) непрерывные частные производные, то ее полное приращение может быть представлено в виде:
, (1)
где при .