Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.

Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.

Деление отрезка в данном отношении.

 

3.Понятие об ур-нии линии.

Определение окружности и ее определение.

Окружность радиуса R с центром в начале координат представляется уравнением

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

 

5.Общее уравнение прямой.

Метод обратной матрицы решения системы алгебраических уравнений.

m = n, det A ≠ 0

A×X = B

Умножаем систему 2 слева на матрицу А^-1

А^-1 × А × Х = А^-1 × В

Е × Х = А^-1 × В

Х = А^-1 × В

6.Ур-ние прямой, проходящей через 2 точки. Ур-ние прямой в отрезках.

 

Скалярные и векторные велечины. Сложение, вычетание векторов, умножение вектора на число.

15.Общее уравнение плоскости:

Ах + Ву + Сz + D=0, где ABCD- некоторые числа, причем A²+B²+C²>0.

1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору: M₀M перпендикулярно ó ×M₀M=0, M₀M=(x-x₀,y-y₀,z-z₀), ×M₀M=A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0, Ax + By + Cz + (-Ax₀ - By₀ - Cz₀)= 0.

2. Уравнение плоскости в отрезках на осях: Ax+By+Cz =D, - - - = 1, + + =1, =a, =b, =c, + + = 1.

3.Уравнение плоскасти по трем точкам: 0=[M₁M, M₁M₂, M₁M₃]- компланарные, M₁M=(x-x₁, y-y₁, z-z₁), M₁M₂=(x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁), M₁M₃=(x₃-x₁, y₃-y₁, z₃-z₁).

Угол между плоскостями: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

=(A₁, B₁, C₁ ), =(A₂, B₂, C₂) =

Плоскости будут параллельны, если вектора калиниарны: n₁⃓⃓ n₂ ó = = ≠

A₁x + B₁y + C₁z + D₁=0_.

Плоскости перпендикулярны, когда вектора ортогональные:

=0, A₁×A₂ + B₁×B₂ + C₁×C₂ =0

Угол между 2-мя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

Угол между 2-мя векторами.

Угол между векторами a₁{X₁;Y₁;Z₁},a₂{X₂;Y₂;Z₂} можно найти по формуле

Условие коллинеарности:

Векторы назыв коллинеарными если они || одной плоскости

Если векторы a₁{X₁;Y₁;Z₁},a₂{X₂;Y₂;Z₂} коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны X₂: X₁= Y₂: Y₁= Z₂: Z и обратно. Если коэффициент пропорциональности положителен, то векторы равнонаправлены, если отрицателен, то – противопол направ.

Условие компланарности:

Три вектора назыв компланарными, если они, будучи приведены к одному началу, лежат в одной плоскости

Условие (необходимое и достаточное) компланарности векторов a₁{X₁;Y₁;Z₁}, a₂{X₂;Y₂;Z₂},a₃{X₃;Y₃;Z₃}:

8. Кривые второго порядка (эллипс, парабола, гипербола)

Парабола и ее свойства.

Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax², где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y²=2px-симметрично отн. оси ОХ

х²=2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax².

 

Эллипс и его св-ва:

Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки

Аx²+Cy²=d

ур.-е

наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х²+y²=а²

Точки F₁(-c,0) и F₂(c,0) - наз. фокусами эллипса а.

Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом (0<=e<=1)

Точки A₁,A₂,B₁,B₂ -вершины эллипса.

Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

 

Гипербола и ее св-ва.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax²+Cy²=d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0

б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x²/a²-y²/b²=1, F1(c,o) и F₂(-c,0) - фокусы ее, e>0, e=c/a - эксцентриситет.

Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.

б) если d=0, ур-е примет вид x²/a²-y²/b²=0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0

в) если d<0, то x²/a²-y²/b²=-1 - ур-е сопряженной гиперболы.

 

Проекция вектора на ось

Выражение «проекция вектора АВ на ось ОХ» употребляется в двух разных смыслах: геометриче­ском и алгебраическом (арифметическом).

1. Проекцией (геометрической) вектора АВ на ось ОХ называется вектор А'В', начало которо­го А' есть проекция начала А на ось ОХ, а конец В' — проекция конца В на ту же ось.

Обозначение: Пр_ох АВ или, короче, Пр АВ. Если ось ОХ задана вектором с, то вектор А'В' на­зывается также проекцией вектора АВ на направле­ние вектора с и обозначается Пр_с АВ.

Геометрическая проекция вектора на ось ОХ на­зывается также компонентой вектора по оси ОХ.

2. Проекцией (алгебраической) вектора АВ на ось ОХ (или на направление вектора с) называется длина вектора А'В', взятая со знаком + или -, смотря по то­му, имеет ли вектор А'В' то же направление, что и ось ОХ (вектор с), или противоположное.

Обозначение: пр_ох АВ или пр_с АВ.

Замечание. Геометрическая проекция (компо­нента) вектора есть вектор, а алгебраическая проек­ция вектора есть число.

Основные теоремы о проекциях вектора

Теорема 1. Проекция суммы векторов на ка­кую-либо ось равна сумме проекций слагаемых векто­ров на ту же ось.

Теорема справедлива при обоих смыслах термина «проекция вектора» и при любом числе слагаемых; так, при трех слагаемых

Пр ( а₁ + а₂ + а₃) = Пр а₁ + Пр а₂ + Пр а₃ (1) и

np(а₁ + а₂ + а₃) = пра₁ + пра₂ + пра₃. (2)

Теорема 2. Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

пр. b = |b| cos (а^b). (3)

 

12.Операции над векторами:

1.Произведение вектора ā на число назыв вектор α*ā, модуль которого = |α|*|ā|, а направление совпадает с направлением вектора ā если α > 0 и противоположны ему если α<0

2.Анологичное правило для деления

3.Суммой векторов ā₁,ā₂,…,ā_n назыв вектор обознач ā₁+ā₂+…+ā_n= ā_1, начало которого находится в начале вектора ā_n, ломаной линии составлен из последов слогаемых векторов (правило замыкания ломоной)

4.Анологичное правило для вычитания

 

Решение методом Крамера

Метод решения систем лин. Уравнений методом Крамера: Рассмотрим систему. Пусть m=n,пусть матрица системыА-не вырождена det A≠0. Тогда система имеет единств. Решение, кот. Определяется по формулам Крамера: х_i= i= где △-определитель А, △_i-полученое из ⃓△⃓ заменой i-столбца столбцом свободных членов.

Пример: A= B=

X=s w:val="10"/></w:rPr><m:t>3</m:t></m:r></m:e></m:mr></m:m></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

△ 79≠0 △₁= =395, △₂= =-158, △₃= =237

X₁= = =5, X₂= ,

X₃=

 

 

Произв. Сложной и обр. ф-ции. Табл. Производных.

Производная сложной ф.:Если и -дифференцируемые ф. своих аргументов, то производная сложной ф. сущ. и равна произведению производной этой ф-ции по промежуточному аргументу на производную промежуточного по независимой переменной, т.е.

, .

вогн-я

Производная обратной ф.:Если y=f(x) и - взимно-обратые дифференцируемые ф-ции и ,то Действительно,т.к. ,то

Таблица производной

, , , , , ,

, ,

, , ,

,

 

37. Диф-л функции, его геометр. смысл. Приближенные выч-ия с пом. Диф-ла.

Рассм. Ф-ию y=f(x), имеющую произв. в каждой точке ее обл. опр-я. Диф-лом ф-и y=f(x) наз. произведение произв-й этой ф-и на приращение независ. переменной х Диф-л независ. переем-й равен приращению этой переменной, поэтому диф-л ф-и равен произведению ее производной на диф-л незав. перем-ой.Геометр. смысл: диф-л ф-и равен приращению ординаты касательной к граф. Данной ф-и, когда аргумент получает приращение дельта х.

Бесконечно малое приращение ф-и эквивал. диф-лу этой ф-и при всех знач. незав. перем-ой, для кот-х произв-я ф-и конечна и отлична от нуля.f(x+дельтах)прибл.=f(x)+f’(x)*дельтаХ. Эта ф-ла позволяет вычислять прибл. знач-е ф-и, соотв-ее приращ-му знач. аргумента, если известно ее знач. в этой т. и знач. производной в этой т., когда приращение арг-та достаточно мало.

 

38.Теорема Ферма и Роля. Теорема Ферма: Если функция f(x) определена на интер(а, b) и в некот.точке x₀ этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение, тогда если в точке х₀ существует производная, то она равна нулю.

Теорема Роля: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема внутри этого отрезка, причем f(a)=f(b), то существует по крайней мере одна точка x=c, принадлежащей отрезку (a, b), такая, что f’(c)=0 (касательная // OX)

 

 

39. Теорема Лагранжа: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема внутри этого отрезка, то существует по крайней мере одна точка с, принадлежащая отрезку (а, b), для которой справедлива формула: f(b)-f(a)/(b-a)=f”(c).Эта формула наз. Формулой конечных приращений Лагранжа.

 

 

40. Правило Лопиталя. Исп. при вычис.пределов для раскрытия неопредел.();(). Теорема Лопиталя: Если ф-и у=f(х) и у=ф(х) удовлетв. услов. теор. Коши в нек.окрестн. х= ,стремят. к 0() при х и сущ. lim ,то сущ lim и эти пределы равны.Пр.Лопиталя справедливо и при = .

Пример: lim sinx/x=lim (sinx)’/x’=lim cosx/1=1.

 

 

Теорема 1.

В точке экстремума дифференцируемой функции все ее первые частные производные равны нулю,если -экстремум ф-ции.

Теорема 2.

Пусть функция z=/(х,у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М₀(а, b).

Если ее первые частные производные в точке М₀ равны нулю, а вторые принимают значения

(a,b)=A, (a,b)=B, (a,b)=C,

То при

-АС<0 и А>0

точка М₀ является точкой минимума данной функции, а при

В²-АС<0, А<0

точкой максимума, при

В²-АС>0

в точке М₀ экстремума нет.

 

47.Метод наименьших квадратов

При обработке опытных данных часто встречаются с задачей об определении параметров функциональной зависимости между переменными величинами x и y посредством формулы y=f(x).Эта задача решается с помощью метода наименьших квадратов, сущность которого состоит в следующем. При измерении двух величин x и y получены следующие данные:

x	Х1	X2	…	xn
y	Y1	Y2	…	yn

Известен также вид функциональной зависимости, т.е.

y=f(x, , ,…, )=φ(x) (1),

где f-заданная функция; , ,…, — параметры, значения которых требуется определить. Значения у, полученные из формулы (1) при заданных значениях (i=1, 2,..., п), как правило, не совпадают с экспериментальными значениями , приведенными в указанной таблице, т.е. разность -φ() отлична от нуля для всех или некоторых точек (i = 1, 2,..., n). Для каждого i эту разность обозначим через ε , и назовем погрешностью:

-φ()=ε (i = 1, 2,..., п) (2).

Значения параметров (k = 0, 1,..., m) функции (1) тре­буется выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей, т.е. так, чтобы функция

u= ε = ( -φ()) (3)

принимала наименьшее значение. Поскольку эта функция - сумма квадратов некоторых чисел, она принимает неотрицательные значении (каждое слагаемое суммы неотрицательно).

Функция (3) является функцией т+1 переменых , ,..., а_т ,т.е.

и=и(, ,...., а_т)= ( -f(, , ,…, ))² (4).

Если функция и=и(, ..., а_т) имеет непрерывные частные производные по всем переменным, то необходимое условие ее минимума выражается системой уравнений

=0, =0, …, =0 (5)

Из этой системы т +1 уравнений находятся искомые значения пара­метров a₀ ,a₁,...,a_m.

Во многих случаях функция (1) определяется формулой

y= (x), (6)

где (x), (x),..., f _т (x)- известные функции, например, f (x)=x ,f (x)=sin kx, f (x)=cos kx и т.д.

Функция (4) в таких случаях принимает вид

u= y - ()) (7),

а система (5) запишется так:

( - ())(- ())=0 ( - ())(- ())=0(8)

…………………………………….

( - ())(- ())=0

Решение этой системы может быть получено с помощью метода Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

Если (x)= (k = 0, 1, 2,..., m), то

f (x, , ,…, )= + x+ +…+

+ (9)

и система (8) принимает вид:

n+ +…+

= ;

+ +…+ = ; (10)

+ +…+ *

* = .

 

Теорема

Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним переделом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела, т.е.

Ф’(х) = ƒ(х).

Доказательство.

Аргументу х функции придадим приращение Δх такое, что [a, b], ему соответствует приращение функции

Применяя формулу получаем = х + θΔх, 0< θ<1.

Итак, ΔФ = ƒ(ξ)Δх, откуда

θΔх) = ƒ(х), т.е.

или

что и требовалось доказать.

Следствие. Определенный интеграл верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции. Другими словами, для любой непрерывной на промежутке функции существует первообразная.

Формула Ньютона – Лейбница.

Метод замены переменной

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [a, b], а функция x=φ(t), определена на отрезке [α, β] и имеют на нем непрерывную производную, причем φ (α) = а, φ (β) = b и для всех . Тогда

Метод интегрирования по частям

Если функции u = u(x), v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], то справедлива формула

Доказательство.

Поскольку функция u(x)v(x) – первообразная для функции u’(x)v(x) + u(x)v’(x), то

откуда и следует формула которую можно записать в виде

 

Теорема 1

Если в уравнении функция и ее частные производные по непрерывны в некоторой замкнутой области G,определ неравенствами

и,следовательно, ограничены в ней,т.е

.

(k=0,1,2, … n-1;

Где C>0, ) ,

То существ. единственное решение y=y(x) данного уравн., удовлетворяющее условиям .Это решение определено и непрерывно вместе с производными до порядка n включительно в промежутке где

h= min

Общим решением диф-ого урав. n-ого порядка (1)назыв. ф-ия

(4)

Обладающая след. свойствами:1)при любых значениях произвольных постоянных она обращает урав. (1)в тождество;2)знач. постоянных можно подобрать так,чтобы она удовлетворяла условиям (3)

Частным решением диф-ого уравнения n-ого порядка называется решение,получ-ся из общего решения (4)при фиксированных значениях произвольных постоянных, т. е.ф-ия

Где -некоторые числа.

Решение диф-огоуравн.n-ого порядка, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым.

Общим интегралом диф-ого уравнения n-ого порядка называется соотношение вида

(5)

Неявно определ-ее общее решение этого уравнения. Частным интегралом диф. урав-я n-ого порядка назыв. соотношение , полученное из общего интеграла путем фиксирования значений произвольных постоянных.

 

№61. Дифференциальные ур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными:

Дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида: P(x)dx+Q(y)dy=0 (1). Его общим интегралом будет: (2). Уравнение вида: M₁(x)·N₁(y)dx+M₂(x)·M₂(y)dy=0 (3), а также уравнение вида: y'=f₁(x)·f₂(y) (4) уравнения, которые с пом. алгебраических преобразований приводятся к ур-ям (3) или (4) наз. ур-ми с разделяющимися переменными. Рассмотрим ур-е (3). Допустим, что N₁(y)·M₂(x)≠0. Разделим обе части ур-я (3) на N₁(y)·M₂(x). Получим: ,

Рассмотрим ур-е (4): Домножим обе части ур-я на dx и разделим на f₂(y) в предположении, что f₂(y)≠0.

– общий интеграл.

Замечание: При выводе общих интегралов ур-ий (3) и (4) сделаем нек. допущения, к-е могут привести к потере решений. Случай, когда M₁(y)·M₂(x)=0 или f₂(y)=0 необходимо рассматривать отдельно, чтобы не потерять возможных решений дифференциальных ур-ий.

 

№62. Линейные дифф-е ур-я 1-го порядка:

Ур-е: y'+P(x)y=Q(x) (1) линейное относительно неизвестной ф-ии y и её производной y' (а также любое ур-е, с пом. алгебраических преобразований, приводящееся к виду (1) наз. неоднородным линейным дифф-ым ур-ем 1-го порядка. В случае, когда Q(x)=0 ур-е наз. однородным линейным дифф-м ур-м 1-го порядка. Ф-ии Q(x),P(x) должны быть непрерывны в нек. области, для того, чтобы выпол. услов. теоремы Коши.

Методы решения:

1.Метод вариации произвольной постоянной (метод Лангранжа):

y'+P(x)y=0

ln y|=-

y=

=

y₀=C·

C=C(x)-частное реш. неоднородного ур-я (1)

y_н=C(x)·

d(x)·

C '(x)-C(x)·P(x)+C(x)·P(x)=Q(x)·

y_н=

Общее реш-е неоднор. ур-я (1) имеет вид:

y=y₀+y_н=С·

2.Метод Бернулли:

Любую функцию можно представить в виде произв-я 2-х ненулевых ф-ий y(x)=U(x)·V(x)

U'V+UV'+P·UV=Q

U'V+U(V'+PV)=0=Q

V'+PV=0

V'+PV=0

ln|V|=-

V=C· C=1

V=

U' =0

U'=Q

U=

U=(

U' V+U V'+U Vtgx=

U' V+U(V'+Vtgx)=

V'+Vtgx=0

V'+Vtgx=0

+Vdx=0

ln|V|=ln|cosx|+ln|C|

ln|V|=ln|C·cosx| C=1

V=cosx

U'cosx=

U'=

U=tgx+C

y=(tgx+C)·cosx=sinx+C·cosx

Замечание: Полезно иметь в виду, что иногда дифф-е ур-е явл. линейным относ. х,как функция от у,т.е. может быть приведено к виду: .

 

№63. Линейные дифференциальные ур-я 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

y''+py'+gy=0 (1) p, g Є R.

λ²+pλ+g=0 (2)

1) λ₁, λ₂, Є R, λ₁≠λ₂

Решение: y_{1= ,} y_{2= ,} y₀₌C_{1 +}C₂

2) λ_1, λ₂ Є R, λ₁₌λ₂=λ

y_{1= ,} y₂=x , y₀=C_{1 +}C₂

3)λ_1, λ₂ Є C, λ_1/2=α±β_i

y_{1= 2=} sinβx

y₀=C_{1 2 1}cosβx+C2sinβx)

Рассмотрим ур-е: y''+py'+gy=f(x) (3)