Понятие о рядах в комплексной области.

Если членами ряда являются комплексные числа, то ряд примет вид: где

Определение:

Ряд (1) называется сходящимся если сходится по отдельности ряд, составленный из действительных частей данного ряда: и ряд составленный из мнимых частей: .

Пусть то ряд (1) сходится

Тогда суммой ряда (1) называется число .

Теорема 17.

Если сходится ряд модулей членов ряда (1) то ряд(1) так же сходится.

Доказательство.

- сходится.

(2) сходится по признаку сравнения.

(3) сходится по признаку сравнения при чем абсолютно по определению (1) сходимости.

 

Степенным рядом в комплексной области называется ряд:

где (4)

 

По теореме 17(4) сходится если сходится ряд: где

- действительные числа=> можно применять все известные признаки.

Пример. Вычислить интеграл , где:
а). l - прямая, соединяющая точки z ₁ = 0 и z ₂ = 1+ i;
б). l - ломаная ОВА, О (0,0), В (1,0), А (1,1).

Решение.
а). Путь интегрирования l - прямая, соединяющая точки z ₁ = 0и z ₂ = 1+ i.
Применяем к вычислению интеграла 1-й способ (формула (1)). Подинтегральное выражение имеет вид
Re zdz = x (dx + idy) = xdx + ixdy. Поэтому:

Уравнение отрезка прямой, соединяющей точки z ₁ = 0и z ₂ = 1+ i имеет вид
y = x, .
Получаем:

б). Путь интегрирования l - ломаная ОВА, О (0,0), В (1,0), А (1,1).
Так как путь интегрирования состоит из двух отрезков, записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:

и каждый из этих двух интегралов вычисляем, как выше.

Для отрезка ОВ имеем: y = 0, ,
а для отрезка ВА: х = 1, .
Тогда:

Заметим, что подинтегральная функция в данном примере - функция не аналитическая, поэтому интегралы по двум различным кривым, соединяющим две данные точки, могут иметь различные значения, что и продемонстрировано в этом примере.

Пример.

Вычислить интеграл от аналитической функции

Применяем формулу (3), первообразную находим, используя методы интегрирования действительного анализа:

Пример.

Разложить функцию в ряд Лорана по степеням z.

Решение. Так как функция является рациональной дробью, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. z ₁ = -1 и z ₂ = 3. Запишем функцию в виде

Кольца аналитичности | z | < 1, 1 < | z | < 3, | z | > 3.

Раскладываем дробь на элементарные дроби:

При | z | < 1 имеем:

Таким образом, в круге | z | < 1 функция раскладывается в ряд Тейлора:

В кольце 1 < | z | < 3:

В итоге имеем:

В круге | z | > 3:

В итоге имеем:

Пример. Разложить функцию f (z) = z ³· e ^{1/ z} в окрестности точки z ₀ = 0.

Решение. Из основного разложения получаем

или

Литература

Основная

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: [учеб. Пособие для втузов]: В 2-х ч. Ч.1.-6-е изд. - М.: ОНИКС 21 век, 2012 (30714). – 304 с.: ил. – 119-00.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: [учеб. Пособие для втузов]: В 2-х ч. Ч.2.-6-е изд. - М.: ОНИКС 21 век, 2012 (20914).– 416 с.: ил. – Библиогр.: с.416 (10 назв.). – 119-00.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: В 3-х т.; Учеб. для вузов инж.-техн. спец. Т. 3: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.; [Под ред. Садовничего В.А.]. ‑ 6-е изд., стер. ‑ М.: Дрофа, 2011 (80514). ‑ 511 с. – (Высшее образование: Современный учебник). – 117-00.

 

Дополнительная

1. Пантина И.В. Вычислительная математика [Электронный ресурс]: учебник/- М.: МФПУ Синергия, 2012.-176 с.- http://znanium.com/.

2. Гмурман В.Е. Ттеория вероятностей и математическая статистика: Учеб. Пособие для вузов / В.Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. - М.: Высш.шк., 2011 (90514). – 404 с. – 175-00.