Доверительные интервалы. Доверительная вероятность

Интервальной называют оценку неизвестного параметра, которая определяется двумя числами – концами интервалов.

Доверительной вероятностью называется вероятность того, что точечная оценка параметра отклонится по модулю от оцениваемого параметра не более, чем на заданное значение δ:

.

Значение γ называют надежностью оценки.

Неравенство задает доверительный интервал:

- интервальная оценка параметра θ или доверительный интервал, в который с вероятностью γ попадает истинное значение оцениваемого параметра.

 

Задача 1. Дано: Х – количественный признак, распределенный нормально;

– среднее квадратическое отклонение.

Найти: доверительный интервал для М(Х)=а.

Будем рассматривать выборочную среднюю как случайную величину (так как она меняется от выборки к выборке);

- распр. нормально, с и

Тогда (по доказанному выше) М()=а,

P

P

найдем по таблице функции Лапласа: =>

Итак, доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины Х в случае известного среднего квадратического отклонения:

,

δ – среднее квадратическое отклонение;

n – объем выборки;

- надежность;

t – аргумент интегральной функции Лапласа, такой, что .

 

Задача 2. Дано: Х - распределено нормально;

- неизвестно.

Найти: доверительный интервал для М(Х)=а

Случайная величина имеет распределение Стьюдента с k=n-1 степенями свободы;

- выборочная средняя;

– «исправленное» среднее квадратическое отклонение,

n – объем выборки.

- плотность распределение Стьюдента, определяется параметром n (не зависит от а и σ).

=

Параметр можно найти по таблице распределения Стьюдента для заданных n и γ.

Итак, доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины Х в случае неизвестной дисперсии:

,

Задача 3. Оценить вероятность появления события А по относительной частоте.

Пусть произведено независимых испытаний с неизвестной вероятностью появления события А в каждом испытании.

Точечные оценки математического ожидания и дисперсии для случайной величины соответственно равны:

и .

Если n достаточно велико, то распределена приближенно нормально.

;

=> t по таблице функции Лапласа:

Если w>p, то

Возведем в квадрат обе части неравенства, преобразуем выражение, получим квадратное неравенство относительно неизвестной вероятности .

Тогда , где корни квадратного трехчлена

Доверительный интервал для вероятности:

Замечание. Если известно распределение Х, но неизвестны его параметры, то для их определения используют метод моментов Пирсона.

Приравнивают теоретические моменты к соответствующим эмпирическим моментам, и находят из полученной системы уравнений неизвестные параметры.