Приложения криволинейных интегралов

1. Длина дуги кривой .

2. Масса материальной кривой с - линейной плоскостью

.

3. Работа силы при перемещении материальной точки вдоль дуги кривой L:

.

4. Площадь фигуры, лежащей в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией L:

или или ,

где - интеграл по замкнутому контуру L.

5. Координаты центра тяжести дуги с линейной плотностью

; .

Пример. Вычислить криволинейный интеграл , где L – отрезок прямой, заключенный между точками А(0,-4) и В(2,0)

Решение. Уравнение прямой, соединяющей точки А и В:

, , ,

Так как кривая L задана уравнением, то криволинейный интеграл I рода, взятый по этой кривой, сводится к определенному интегралу по формуле

Найдем .

Значит

.

 

Пример. Вычислить работу, совершаемую силой при перемещении материальной точки по дуге кривой от точки О(0,0) до точки А(2,10).

 

Решение. Воспользуемся формулой

.

Подставляем данные задачи в эту формулу

.

Найдем

.

Тогда

(ед).

 

Вычисление таких характеристик полей, как градиент, дивергенция и ротор заключается, как уже было показано ранее, в вычислении соответствующих производных, их переменожении или суммировании и, таким образом, представляет собой некоторое действие (операцию) над полем. Общим свойством этой операции является ее векторный характер. Это свойство можно учесть и в самой форме записи способа вычисления, если определить символический вектор - оператор (набла):

(1)

 

который удовлетворяет всем правилам векторной алгебры, т. е. его можно умножать на число (скаляр) или вектор. Знак означает, что при этом соответствующая величина должна быть подставлена сюда вместе с символом векторной операции. Тогда, получим

1) умножение вектора на скаляр вектор:

(2)

 

2) скалярное умножение на вектор скаляр:

(3)

 

3) векторное умножение на вектор вектор:

(4)

Сравнивая далее (114)-(116) с (79), (92) и (106), получим, что в декартовой системе координат оператор запишется как

(5)

 

Определение (1) удобно тем, что оно пригодно для любой системы координат, в то время как (5) - частный случай для декартовой.

Оператор является дифференциальным оператором а его действие, независимо от алгебраической операции, в комбинации с которой он применяется к полю в (2)-(4), подчиняется обычным правилам дифференцирования функций (сумма, произведение). В применении к сложным выражениям, содержащим комбинации скалярных или векторных полей, вычисления градиента, дивергенции или ротора на основе их определений может оказаться весьма громоздким, а при использовании символической записи становится более наглядным и простым. При этом необходимо, однако, следить, чтобы характер величин (скаляр или вектор) сохранялся на протяжении всех вычислений, а каждое промежуточное выражение имело смысл с точки зрения векторной алгебры. Например, если , - векторы, то выражение не имеет смысла, если не указана сответствующая бинарная операции: сумма, скалярное или векторное произведение.