Статистические оценки параметров. Точечные оценки.

Пусть θ – неизвестный оцениваемый параметр, а θ^* - приближенное значение данного параметра, полученное на основании выборочных данных.

Такая оценка θ^* параметра θ в виде одного числа, называется точечной оценкой.

Точечная оценка называется несмещенной, если М(θ^*) = θ, и смещенной - в противном случае.

Точечная оценка называется эффективной, если ее дисперсия минимальна среди всех других возможных оценок данного параметра.

Точечная оценка называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки ее значение неограниченно приближается к оцениваемому параметру.

Несмещенной, эффективной и состоятельной оценкой мат. ожидания изучаемого признака является выборочная средняя:

,

где n– объем выборки.

Если объем всей генеральной совокупности равен N, а количественный признак может принимать отдельные изолированные значения, то математическое ожидание

.

 

Точечная оценка дисперсии – выборочная дисперсия:

.

Для расчетов можно применять и другую формулу:

Доказательство: D_B= , где вычисляют по формуле: .

 

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой, поэтому при малых значениях объема выборки применяют исправленную выборочную дисперсию: .

Выборочное среднее квадратическое отклонение - смещенная оценка генерального среднего квадратического отклонения:

.

Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение:

-

несмещенная оценка генерального среднего квадратического отклонения.

 

 

где n=n₁ + n₂ +…+n_k – объем выборки.

§ 2. Условные варианты. Моменты. Метод произведений

Предположим, что варианты выборки расположены в возрастающем порядке, причем – равноотстоящие, т.е. те, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью h = x_i+1 – x_i – шаг выборки (при этом условные варианты будут целыми числами).

Условными называют варианты, которые определяются равенством , где С – ложный ноль (новое начало отсчета). В качестве ложного нуля можно взять любую варианту, но максимальная простота вычислений достигается, если она находится примерно в середине вариационного ряда и имеет наибольшую частоту.

Замечание: если С = х_m, то u_m=0.

Обычным эмпирическим моментом порядка k называется величина , где n_i – частоты, x_i – значения вариант, с – некоторое значение, n – объем выборки. В частности, .

Начальным эмпирическим моментом порядка k называется обычный момент порядка k при с=0: . В частности,

Замечание: очевидно, что М₁ = .

 

Центральным эмпирическим моментом порядка k называется обычный момент порядка k при c= : . В частности, .

Замечание: очевидно, что m₂ = D_B.

Теорема1: m₂ = M^/₂ – (M^/₁)².

 

Условным эмпирическим моментом порядка k называется начальный момент порядка k, вычисленный для условных вариант: .

Теорема2: если С – ложный ноль, h – шаг выборки, и - условные эмпирические моменты соответственно 1^го и 2^го порядков, то выборочная средняя равна , выборочная дисперсия: .

 

Метод произведений применяется для вычисления условных моментов, следовательно, и для вычисления и . Для простоты вычислений целесообразно воспользоваться расчетной таблицей вида:

хi	ni	ui	niui	niu

1. В 1^ом столбце записывают выборочные (первоначальные) варианты в возрастающем порядке.

2. Во 2^ом - записывают частоты этих вариант.

3. В 3^ем – записывают условные варианты (практически, в клетках над u_i=0 по порядку пишут числа -1, -2, -3, …, а в клетках под ним – числа 1, 2, 3, …

4. В 4^ом – вычисляют произведения n_iu_i.

5. В 5^ом – вычисляют произведения n_iu .

6. Далее суммируют вычисления по столбцам, записывая результаты снизу.

7. Вычисляют условные моменты , и выборочные среднюю , дисперсию и среднее квадратическое отклонение s_В = .

Замечание: можно добавить 6^ой столбец, в котором вычисляют произведения n_i(u_i+1)². Внизу, просуммировав, получают . Если = + 2 + n, то вычисления произведены правильно.

Пример. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные варианты х _i, а во второй строке – соответственные частоты n _i количественного признака Х). Требуется найти:

1. Методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое отклонение.

2. Доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а с заданной надежностью g=0,95.

хi
ni

Решение: 1. Для нахождения и D_В методом произведений составим расчетную таблицу (в качестве ложного нуля выбираем С=280, т.е. u₃=0, значит, u₂= -1, u₁= -2, u₄=1, u ₅ = 2, u₆ = 3, u₇ = 4):

хi	ni	ui	niui	niu
		-2	-10
		-1	-15

Вычислим условные моменты: = =0,4; = =1,76.

Теперь, зная ложный ноль С=280 и шаг выборки h=270 – 260 =10, вычисляем выборочную среднюю: =10×0,4+280=284; выборочную дисперсию: = (1,76 – 0,4²)×10² = 160; выборочное среднее квадратическое отклонение: s_В = = »12,65.

2. Доверительный интервал.

D_В=160 Þ s= = » 12,71.

Пользуясь таблицей приложения 3 по g = 0,95 и n = 100 находим t_g=1,984, тогда искомый доверительный интервал примет вид: , т.е. .

Ответ: 1. а) =284, б) s_В =12,65; 2. .