Расчет зубьев цилиндрических прямозубых колес на контактную прочность.

Расчет сводится к удовлетворению условия, чтобы рабочие контактные напряжения не превышали допускаемые. Расчет ведут для зацепления в полюсе, т.к. выкрашивание начинается у полюсной линии в зоне однопарного зацепления. В качестве исходной принимают формулу Герца для определения σН (касательных напряжений) при сжатии цилиндров, соприкасающихся вдоль образующих.

Епр – приведенный модуль упругости материалов сопряженных зубчатых колес; , где Е1 и Е2 – модули упругости материалов шестерни и колеса. Если Е1 = Е2, то Епр = Е = 2,15·105.

μ – коэффициент Пуассона (поперечное сжатие); для стали μ 0,3;

q – удельная нагрузка, действующая нормально к профилю зуба

,

где Fn – сила нормального взаимоотношения между зубьями; lΣ – суммарная длина контактных линий; lΣ = bw; Кε·εα = 1.

Определим ρпр – приведенный радиус кривизны профилей зубьев в зоне контакта. Он находится из зависимости:

.

 

- радиус кривизны зуба шестерни;

- радиус кривизны зуба колеса.

Приведенная кривизна:

Подставляя полученные значения в формулу Герца, получим:

(4)

(4) – основная формула для расчетов цилиндрических прямозубых колес на контактную прочность.

В формуле обозначено:

- коэффициент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев; при αw = 200 ZН = 1,77

- коэффициент, характеризующий механические свойства материалов сопряженных зубчатых колес; ZМ = 275 – для стальных колес

Zε – коэффициент, характеризующий влияние коэффициента торцевого перекрытия εα или суммарную длину контактных линий lΣ; lΣ колеблется от bw - в зоне контактного зацепления до 2 bw – в зоне двухпарного зацепления. Расчет ведут по некоторой эффективной длине

При отсутствии требований повышенной точности расчетов можно принимать: - соответствует εα = 1,6

и – передаточное число рассчитываемой пары.

Величина расчетных контактных напряжений одинакова для шестерни и колеса. Расчет ведут по тому элементу, для которого меньше [σH]. Чаще это колесо, а не шестерня.

Формулу (4) применяют при проверочных расчетах. При проектных расчетах определяют аw или dw1 (можно и dw2) по заданным Т1, Т2 и и. С этой целью формулу (4) решают относительно аw или dw1. При этом в формуле оставляют только те из неизвестных параметров, которые можно оценить или выбрать на основе накопленного опыта. Другие неизвестные параметры включают в обобщенный коэффициент, которому дают приближенную оценку. Обозначим и найдем

Подставляя это значение в (4), получим:

Решая относительно dw1, получим:

(5)

(5) – основная формула для проведения проектных расчетов. Здесь за Кd обозначено: - вспомогательный коэффициент; Кd = 770 – для стальных колес;

Т1 – критический момент на валу шестерни рассчитанной пары, (Н·м);

и – передаточное число пары.

Решая (4) относительно аw, заменим:

; ; - коэффициент ширины колес; .

После преобразования формулы (4) получим:

(6)

(6) – основная формула для расчета межосевого расстояния, где

- вспомогательный коэффициент; Ка = 495 – для прямозубых передач. Формулы (5) и (6) равноправны. При расчете по этим формулам нужно задаваться значениями ψba и ψbd. Их выбирают в зависимости от расположения колес относительно опор, твердости зубьев и вида передачи. Имеются таблицы и рекомендации. Если по условию проектного задания основные параметры редуктора (механизма) должны соответствовать ГОСТ (это требование обычно ставится при проектировании редукторов для серийного выпуска), то значение аw должно быть определено по ГОСТ. В этом случае предпочтительнее формула (6).

ψba = 0,3…0,4 для размеров в основном диапазоне редукторов;

ψba = 0,15…0,2 для КПП;

ψba = 0,1; 0,125; 0,16; 0,2; 0,25; 0,315; 0,4; 0,5; 0,63; 0,8; 1,0; 1,25 – стандартный ряд значений ψba.

Для многоступенчатых редукторов, у которых нагрузка повышается от ступени к ступени, каждой последующей ступени значения ψba и ψbd принимают больше, чем в предыдущей. Это способствует хорошему соотношению размеров колес по ступеням. Увеличение ширины колес или ψba или ψbd позволяет уменьшить габариты и массу передачи, но требует повышение точности изготовления и жесткости конструкции. Ширину колес ограничивают, т.к. с увеличением ширины колес возрастает КHβ и ликвидируются преимущества увеличения ширины. Коэффициенты ψba и ψbd находят: . Проще задаваться значением ψba.

ψbd характеризует шестерню.

Если одно или оба колеса выполнены не из стали, то в формулах (5) и (6) численные коэффициенты нужно умножить на .

Если зубчатая передача выполнена с угловым смещением, то те же коэффициенты умножаются на , где αw – угол зацепления пары со смещением.

Контактная прочность зубчатых колес (формулы 4, 5, 6) зависит от радиусов кривизны профилей зубьев, которые выражаются через dw и aw, ширины колес bw и от передаточного числа и, но совсем не зависит от модуля.

Модуль передачи может быть сколь угодно малым, лишь бы выполнялось условие:

Минимально допустимую величину модуля можно определить:

- зависит от расчета на изгиб.

Но часто получаются зубья с очень мелким модулем, применения ограничено. Лучше определить модуль из условия равнопрочности зубьев на изгиб и контактную прочность, выразив:

.

После преобразования формулы (3) получим:

, (7)

где Кma = 1400 для прямозубых передач.

Т1 – в Н·м; УF – в мм; aw – в мм; bw – в мм; [σF] – МПа.

С другой стороны величина модуля должна быть проверена по условию:

,

где

Модуль выбирается больший из выражения (7).

В передачах большинства редукторов модуль выбирают:

- для улучшаемых и нормализованных колес;

- для закаленных колес.

Большее значение соответствует работе с неизбежным износом, кратковременным режимом работы, значительными перегрузками и средними скоростями. Меньшее значение – продолжительным режимом работы, малыми перегрузками и большими скоростями.

Модуль зубчатых колес нужно выбирать минимальным, т.к. с его увеличением растут наружные диаметры заготовок и вес, трудоемкость обработки и потери на трение. С другой стороны мм – для силовых передач принимать не рекомендуют из-за возможности большого понижения несущей способности в результате износа, повышенного влияния неоднородности материалов, опасности разрушения при перегрузках.