Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал

 

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше,- точечные. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок (смысл этих понятий выясняется ниже).

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Θ* служит оценкой неизвестного параметра Θ. Будем считать Θ постоянным числом (Θ может быть и случайной величиной). Ясно, что Θ* тем точнее определяет параметр Θ, чем меньше абсолютная величина разности |Θ - Θ*|. Другими словами, если δ >0 и |Θ - Θ*|< δ, то чем меньше δ, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число δ характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка Θ * удовлетворяет неравенству |Θ - Θ*|< δ; можно лишь говорить о вероятности γ, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью)оценки Θ по Θ* называют вероятностьγ,с которой осуществляется неравенство |Θ - Θ*|< δ. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве γ берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что |Θ - Θ*|< δ, равна γ:

Р [|Θ - Θ*|< δ ]= γ.

Заменив неравенство |Θ - Θ*|< δ равносильным ему двойным неравенством -δ <Θ - Θ*< δ, или Θ*- δ <Θ< Θ* + δ, имеем

Р [Θ* - δ <Θ< Θ* + δ ] = γ.

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал(Θ*- δ, Θ*+ δ) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр Θ, равна γ.

Доверительным называют интервал (Θ*- δ, Θ*+ δ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.

Замечание. Интервал (Θ*- δ, Θ*+ δ) имеет случайные концы (их называют доверительными границами). Действительно, в разных выборках получаются различные значения Θ*. Следовательно, от выборки к выборке будут изменяться и концы доверительного интервала, т. е. доверительные границы сами являются случайными величинами - функциями от х ₁, x ₂,..., х_n.

Так как случайной величиной является не оцениваемый параметр Θ, а доверительный интервал, то более правильно говорить не о вероятности попадания Θ в доверительный интервал, а о вероятности того, что доверительный интервал покроет Θ.

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ю. Нейман, исходя из идей английского статистика Р. Фишера.

 

 

§ 15. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ

 

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение σ этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней . Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр а с надежностью γ.

Будем рассматривать выборочную среднюю как случайную величину ( изменяется от выборки к выборке) и выборочные значения признака х ₁, x ₂,..., х_n - как одинаково распределенные независимые случайные величины Х ₁, Х ₂,..., Х_n (эти числа также изменяются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно а и среднее квадратическое отклонение - σ.

Примем без доказательства, что если случайная величина X распределена нормально, то выборочная средняя ,найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально. Параметры распределения таковы (см. гл. VIII, § 9):

M ()= a, .

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

Р (|Х - а| < δ) = γ,

где γ - заданная надежность.

Пользуясь формулой (см. гл. XII, § 6)

Р (|Х-а| < δ) = 2 Ф (δ/σ),

заменив X на и σ на , получим

Р (|Х-а|) <δ) = 2 Ф (δ ) = 2 Ф (t),

где t = δ .

Найдя из последнего равенства , можем написать

Р (| —а | < ) = 2 Ф (t).

Приняв во внимание, что вероятность P задана и равна γ, окончательно имеем (чтобы получить рабочую формулу, выборочную среднюю вновь обозначим через )

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал (, ) покрывает неизвестный параметр а; точность оценки .

Итак, поставленная выше задача полностью решена. Укажем еще, что число t определяется из равенства 2 Ф (t) = γ. или Ф (t) = γ / 2; по таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находят аргумент t, которому соответствует значение функции Лапласа, равное γ / 2.

Замечание 1. Оценку называют классической. Из формулы , определяющей точность классической оценки, можно сделать следующие выводы:

1) при возрастании объема выборки п число δ убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается;

2) увеличение надежности оценки γ = 2 Ф (t) приводит к увеличению t (Ф (t) — возрастающая функция), следовательно, и к возрастанию δ; другими словами, увеличение надежности классической оценки влечет за собой уменьшение ее точности.

Пример. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением σ = 3. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочным средним , если объем выборки n = 36 и задана надежность оценки γ= 0,95.

Решение. Найдем t. Из соотношения 2Ф(t)=0,95 получим Ф(t) = 0,475. По таблице приложения 2 находим t =1,96.

Найдем точность оценки:

.

Доверительный интервал таков: ( -0,98; + 0,98). Например, если = 4,1, то доверительный интервал имеет следующие доверительные границы:

-0,98 = 4,1- 0,98 = 3,12; + 0,98 = 4,1 + 0,98 = 5,08.

Таким образом, значения неизвестного параметра а, согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству 3,12 < а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3, 12< а < 5,08) = 0,95. Действительно, так как а - постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 достоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (вэтом случае событие 3,12 < а < 5,08 невозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было указано, изменяются от выборки к выборке.

Поясним смысл, который имеет заданная надежность. Надежность γ = 0,95 указывает, что если произведено достаточно большое число выборок, то 95% из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр действительно заключен; лишь в 5% случаев он может выйти за границы доверительного интервала.

Замечание 2. Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью δ и надежностью γ, то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле

(следствие равенства ).

 

§ 16. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ

 

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение а неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а с помощью доверительных интервалов. Разумеется, невозможно воспользоваться результатами предыдущего параграфа, в которомσ предполагалось известным.

Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину (ее возможные значения будем обозначать через t):

,

которая имеет распределение Стьюдента с k = n- 1 степенями свободы (см. пояснение в конце параграфа); здесь - выборочная средняя, S - «исправленное» среднее квадратическое отклонение, n - объем выборки.

Плотность распределения Стьюдента

,

где .

Мы видим, что распределение Стьюдента определяется параметром n - объемом выборки (или, что то же, числом степеней свободы k = n- 1) и не зависит от неизвестных параметров а и σ; эта особенность является его большим достоинством. Поскольку S (t,n) - четная функция от t, вероятность осуществления неравенства определяется так (см. гл. § XI, 2, замечание):

.

Заменив неравенство в круглых скобках равносильным ему двойным неравенством, получим

.

Итак, пользуясь распределением Стьюдента, мы нашли доверительный интервал , покрывающий неизвестный параметр а снадежностью γ.

Здесь случайные величины и S заменены неслучайными величинами и s, найденными по выборке. По таблице приложения 3 по заданным n и γ можно найти t_γ.

Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n =16 найдены выборочная средняя = 20,2 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.

Решение. Найдем t_γ. Пользуясь таблицей приложения 3, по γ = 0,95 и n = 16 находим t_γ =2,13.

Найдем доверительные границы:

.

.

Итак, с надежностью 0,95 неизвестный параметр а заключен в доверительном интервале

19,774 < а < 20,626.

Замечание. Из предельных соотношений

.

следует, что при неограниченном возрастании объема выборки n распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически при n > 30 можно вместо распределения Стьюдента пользоваться нормальным распределением.

Однако важно подчеркнуть, что для малых выборок (n < 30), в особенности для малых значений n, замена распределения нормальным приводит к грубым ошибкам, а именно к неоправданному сужению доверительного интервала, т.е. к повышению точности оценки. Например, если n = 5 и γ = 0,99, то, пользуясь распределением Стьюдента, найдем t _γ = 4,6, а используя функцию Лапласа, найдем t_γ = 2,58, т.е. доверительный интервал в последнем случае окажется более узким, чем найденный по распределению Стьюдента.

То обстоятельство, что распределение Стьюдента при малой выборке дает не вполне определенные результаты (широкий доверительный интервал), вовсе не свидетельствует о слабости метода Стьюдента, а объясняется тем, что малая выборка, разумеется, содержит малую информацию об интересующем нас признаке.

Пояснение. Ранее было указано (см. гл. XII, § 14), что если Z - нормальная величина, причем M (Z) = 0, σ (Z)=1, а V - независимая от Z величина, распределенная по закону χ² с k степенями свободы, то величина

(*)

распределена по закону Стьюдента с k степенями свободы. Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем М (Х) =а, σ (Х) = σ. Если из этой совокупности извлекать выборки объема n и по ним находить выборочные средние, то можно доказать, что выборочная средняя распределена нормально, причем (см. гл. VIII, § 9)

, .

Тогда случайная величина

(**)

также имеет нормальное распределение как линейная функция нормального аргумента (см. гл. XII, § 10, замечание), причем М (Z) = 0, σ(Z)=l. Доказано, что случайные величины Z и

(***)

независимы (S ² - исправленная выборочная дисперсия) и что величина V распределена по закону χ² с k = n- 1 степенями свободы.

Следовательно, подставив (**) и (***) в (*), получим величину

,

которая распределена по закону Стьюдента с k = n- 1 степенями свободы.