Доверительные интервалы для параметров нормального распределения

1. Надежность. Доверительные интервалы. Пусть — оцениваемый параметр,

— его оценка, составленная из . Если известно, что оценка является несмещенной и состоятельной, то по данным выборки вычисляют значение и считают его приближением истинного значения . При этом среднее квадратичное отклонение (если его вообще вычисляют) оценивает порядок ошибки. Такие оценки называются точечными.

Например, в предыдущем параграфе речь шла о точечных оценках генеральной средней и генеральной дисперсии. В общем случае, когда о распределении признака X ничего неизвестно, это уже немало. Если же о распределении имеется какая-либо информация, то можно сделать больше.

Здесь речь будет идти об оценке параметров а к о случайной величины,

имеющей нормальное распределение. Это очень важный случай. Например (см. § 2.7), результат измерения имеет нормальное распределение. В этом случае становится возможным применять так называемое интервальное оценивание, к изложению которого мы и переходим.

Пусть >0 некоторое число если неравенство выполняется < , т.е < < , что можно записать в виде - < < + , то говорят, что интервал( - , + ) покрывает параметр . Однако невозможно указать оценку 0л такую, чтобы событие { < } было достоверным, поэтому мы будем говорить о вероятности этого события.

Число называется точностью оценки . Определение. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки параметра для заданного > 0 называется вероятность у того, что интервал ( - , + ) покроет параметр т.е.

γ=P{Θ_n-δ<Θ>Θ_n+δ}=P{|Θ_n-Θ|<δ}

Заметим, что после того, как по данным выборки вычислена оценка Θ_n, событие {|Θ_n-Θ|<δ}становится или достоверным, или невозможным, так как интервал ( - < < + ) или покрывает Θ, или нет. Но дело в том, что параметр Θ нам неизвестен. Поэтому мы называем надежностью γ уже вычисленной оценки Θ_n, вероятность того, что интервал ( - < < + ) найденный для произвольной выборки, покроет Θ. Если мы сделаем_много

выборок объема n и для каждой из них построим интервал ( - < < + ), то доля тех выборок, чьи интервалы покроют Θ, равна у. Иными словами, у есть мера нашего доверия вычисленной оценке 9. Ясно, что, чем меньше число 8, тем меньше надежность γ.

Определение. Доверительным интервалом называется найденный по данным выборки интервал ( - < < + ), который покрывает параметр Θ с заданной надежностью γ.

Надежность у обычно принимают равной 0,95 или 0,99, или 0,999. Конечно, нельзя категорически утверждать, что найденный доверительный интервал покрывает параметр Θ. Но в этом можно быть уверенным на 95% при γ =0,95, на 99% при γ =0,99 и т.д. Это значит, что если сделать много выборок, то для 95% из них (если, например, γ =0,95) вычисленные доверительные интервалы действительно покроют Θ.

2. Доверительный интервал для математического ожидания при известном σ. В некоторых случаях среднее квадратичное отклонение а ошибки измерения (а вместе с нею и самого измерения) бывает известно. Например, если измерения осуществляются одним и тем же прибором при одних и тех же условиях.

Итак, пусть случайная величина X распределена нормально с параметрами а и σ, причем σ известно. Построим доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр а с заданной надежностью γ. Данные выборки есть реализации случайных величин Х₁, Х₂,..., Х_n, имеющих нормальное распределение с параметрами а и σ (§ 4.2, п. 1). Оказывается, что и выборочная средняя случайная величина X = 1/n(Х₁ + Х₂ +... + Х_n) тоже имеет нормальное распределение (это мы примем без доказательства). При этом (см. § 4.2, пп. 2, 3)

М(Х) = а; σ (Х) = σ/√n

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение Р(| X - а | < δ) = γ, где γ — заданная надежность. Пользуясь формулой (2.27) (§ 2.7, п. 2), получим

Р(| X - а | < δ) =2Ф(σ/√n/σ), или

Р(| X - а | < δ) =2Ф(t), где

t = σ/√n/σ (4.15)

Найдя из равенства (4.15) δ = t σ/√n, можем написать

Р(| X - а | < t σ/√n) =2Ф(t),

Так как Р задана и равна у, то окончательно имеем (для получения рабочей формулы выборочную среднюю заменяем на x_B):

P=(x_B- t σ/√n<a<x_B+ t σ/√n)=2Ф(t)= γ

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал (x_B- t σ/√n;x_B+ t σ/√n) покрывает неизвестный параметр а; точность оценки δ = t σ/√n. Здесь число tопределяется из равенства Ф(t) = γ/2 [оно следует из 2Ф(t)= γ] по таблице приложения 3.

Как уже упоминалось, надежность у обычно принимают равной или 0,95 или 0,99, или 0,999.

Пример. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально с известным σ = 0,40. Найдем по данным выборки доверительный интервал для а с надежностью γ = 0,99, если n = 20, x_B = 6,34.

Для Ф(t) = γ/2 = 0,99/2 = 0,495 находим по таблице приложения 3 t=2,58. Следовательно, δ = 2,58*0,40/√20= 0,23. Границы доверительного интервала 6,34-0,23 = 6,11 и 6,34 + 0,23 = 6,57. Итак, доверительный интервал (6,11; 6,57) покрывает а с надежностью 0,99.

3. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном σ.

Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестными нам параметрами а и σ. Оказывается, что случайная величина (ее возможные значения будем обозначать через t)

Т = X-a/S/√n

где n —объем выборки; X — выборочная средняя; S—исправленное среднее квадратичное отклонение, имеет распределение, не зависящее от a и σ.

Оно называется распределением Стьюдента*. Плотность вероятности распределения Стьюдента дается формулой

S(t,n)=В_n(1+t²/n-1)^-n/2

где коэффициент В_n зависит от объема выборки.

* Стьюдент — псевдоним английского статистика И. О. Госсета.

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

Р(|Т|<T_γ) = γ,

где γ — заданная надежность.

Так как S(t,n)— четная функция от t, то, пользуясь формулой (2.15) (см. § 2.5), получим

P(|X-a|√n/S<t_γ)=2∫ S(t,n)dt= γ

Отсюда

P=(X-t_γS/√n<a< X+t_γS/√n)= γ

Следовательно, приходим к утверждению: с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал (X-t_γS/√n<a< X+t_γS/√n) покрывает неизвестный параметр а, точность оценки t = t_γS/√n. Здесь случайные величины X и S заменены неслучайными величинами х, и s, найденными по выборке.

В приложении 4 приведена таблица значений t_γ=t(γ, n) для различных значений γ и обычно задаваемых значений надежности.

Заметим, что при n > 30 распределение Стьюдента практически не отличается от нормированного нормального распределения(см. § 2.7, п. 2).

Это связано с тем, что lim(1+t²/n-1)^-n/2=e^-t2/2

Пример. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально. Найдем доверительный интервал для х_r с надежностью γ =0,99, если n = 20; Х_B = б,34; s = 0,40. Для надежности γ =0,99 и n = 20 находим по таблице приложения 4 t_γ = 2,861. Следовательно,δ = 2,861 • 0,40/√20=0,26. Концы доверительного интервала 6,34 - 0,26 = 6,08 и 6,34 + 0,26 = 6,60. Итак, доверительный интервал (6,08; 6,60) покрывает х_r с надежностью 0,99.

4. Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения. Для нахождения доверительного интервала для среднего квадратичного отклонения а будем использовать следующее предложение, устанавливаемое аналогично двум предыдущим

(пп. 2 и 3).

С надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал (s-sq; s+sq) покрывает неизвестный параметр σ; точность оценки δ = sq.

В приложении 5 приведена таблица значений q=q(γ, n) для различных значений n и обычно задаваемых значений надежности γ.

Пример 1. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально. Найдем доверительный интервал для ог с надежностью γ =0,95, если n = 20; s=0,40. Для надежности

γ =0,95 и n = 20 находим в таблице приложения 5 q = 0,37. Далее, sq = 0,40*0,37 = 0,15.

Границы доверительного интервала 0,40-0,15= 0,25 и 0,40 + 0,15 = 0,55. Итак, доверительный интервал (0,25; 0,55) покрывает σ_r с надежностью 0,95.

Пример 2. На ферме испытывалось влияние витаминов на прибавку в массе телят. С этой целью было осмотрено 20 телят одного возраста. Средняя масса их оказалась равной 340 кг, а «исправленное» среднее квадратичное отклонение — 20 кг.

Определим:

1) доверительный интервал для математического ожидания а с

надежностью 0,95; 2) доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения с той же надежностью.

При решении задачи будем исходить из предположения, что данные пробы взяты из нормальной генеральной совокупности.

Решение. 1) Согласно условиям задачи, х_B = 340; s=20; γ= 0,95;n = 20. Пользуясь распределением Стьюдента, для надежности γ =0,95 и n = 20 находим в таблице приложения 4 t_γ = 2,093. Следовательно,δ = 2,093*20/√20= 9,4. Границы доверительного интервала 340 - 9,4 = 330,6 и 340 + 9,4 = 349,4. Итак, доверительный интервал (330,6; 349,4) покрывает а с надежностью 0,95.

Можно считать, что в данном случае истинная масса измерена достаточно точно (отклонение порядка 9,4/340= 0,03).

2) Для надежности γ =0,95 и n = 20 находим в таблице приложения 5 q=0,37. Далее, sq = 20- 0,37 = 7,4. Границы доверительного интервала 20 - 7,4 = 12,6 и 20 + 7,4 = 27,4. Таким образом, 12,6 < σ < 27,4, откуда можно заключить, что а определено неудовлетворительно (отклонение порядка sq/s = q = 0,4 — почти половина!). Чтобы сузить доверительный интервал при той же надежности, необходимо увеличить число проб n.

Примечание. Выше предполагалось, что q<1. Если q>1, то, учитывая, что σ >0, получаем 0< σ <s+sq. Значения q и в этом случае определяются по таблице приложения 5.

Пример 3. Признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 10 найдено «исправленное» среднее квадратичное отклонение s=0,16. Найдем доверительный интервал для σ_к с надежностью 0,999. Для надежности γ=0,999 и n= 10 по таблице приложения 5 находим q= 1,80.

Следовательно, искомый доверительный интервал таков: 0 < σ < 0,16+ 0,16*1,80 или 0< σ < 0,448.

5. Оценка истинного значения измеряемой величины. Пусть проводится n независимых равноточных измерений* некоторой физической величины, истинное значение а которой неизвестно. Будем рассматривать результаты отдельных измерений как случайные величины Х₁, Х₂,..., Х_n. Эти величины независимы (измерения независимы), имеют одно и то же математическое ожидание а (истинное значение измеряемой величины), одинаковые дисперсии σ² (измерения равноточны) и распределены нормально (такое допущение

подтверждается опытом). Таким образом, все предположения, которые были сделаны при выводе доверительных интервалов в пп. 2 и 3 настоящего параграфа, выполняются,

следовательно, мы вправе использовать полученные в них предложения. Так как обычно а неизвестно, следует пользоваться предложением, найденным в п. 3 данного параграфа.

Пример. По данным девяти независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов отдельных измерений х_B = 42,319 и «исправленное» среднее квадратичное отклонение s = 5,0.

Требуется оценить истинное значение а измеряемой величины с надежностью γ =0,99.

Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию. Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном σ) при помощи доверительного интервала

х_B-t_γs/√n<a< х_B+t_γs/√n

покрывающего а с заданной надежностью γ =0,99.

Пользуясь таблицей приложения 4 по γ =0,99 и n = 9, находим t_γ=3,36.

Найдем точность оценки:

δ = t_γs/√n = 3,36*5/√9 = 3,36*5/3 = 5,60.

Границы доверительного интервала

42,319-5,60 = 36,719

и 42,319 + 5,60 = 47,919.

Итак, с надежностью γ =0,99 истинное значение измеренной величины а заключено в доверительном интервале 36,719 < а< 47,919.

То есть измерений, проводимых в одинаковых условиях. Эти условия считают выполненными, если измерения проводятся одним прибором.

Большое значение для современной теории вероятностей имеют работы представителей советской школы, в частности А. Н. Колмо­горова (1903-1987), С. Н. Бернштейна (1880-1968), А. Я. Хинчина (1894-1959), Ю. В. Линника (1915-1972) и Б. В. Гнеденко.

Дополнительные упражнения

К главе I

1. Найдите вероятность выпадения цифры при одном бросании мо­неты. [0.5]

2. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

[0,5]

3. В шар вписан куб. Точка ставится наугад в шар. Какова вероят­ность того, что она попадет в куб?

4. В книге 500 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница имеет порядковый номер, кратный 7?

[0,142]

5. В урне 3 синих, 8 красных и 9 белых шаров. Какова вероятность появления: а) синего; б) красного; в) белого шара при одном вынимании шара из урны?

[а) 0,15; б) 0,4; в) 0,45]

6. Студент из 30 экзаменационных билетов усвоил 24. Какова вероят­ность его успешного ответа на экзамене на билет при одном кратном извлечении билета?

[0,8]

7. В сосуд вместимостью 10 л попала одна болезнетворная бактерия. Какова вероятность зачерпнуть ее при наборе из этого сосуда стакана воды (200 см3)?

[0,02]

8. Отдел технического контроля обнаружил 3 бракованные книги в пар­тии из случайно отобранных 100 книг. Найдите относительную частоту по­явления бракованных книг.

[0,03]

9. По цели произведено 20 выстрелов, причем зарегистрировано 18 попадений. Найдите относительную частоту попаданий в цель.

[0,9]

10.Среди 1000 новорожденных оказалось 517 мальчиков. Найдите относительную частоту рождения мальчиков.

[0,517]

25. В День физкультурника Сизов пошел на стадион. Можно было купить билет на футбол с вероятностью 0,3 или купить билет на волейбол с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что Сизов попал на сорев­нования?

[0,5]

25. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероят­ность попасть в первую область равна 0,45; во вторую —0,35. Найдите вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

[0,8]

25. Какова вероятность выпадения 4 или 6 очков при однократном бросании игральной кости?

25. В урне 2 синих, 6 красных и 12 белых шаров. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

[0,4]

25. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 оч­ков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найдите вероятность того, что при одном вы­стреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

[0,4]

25. В урне 4 белых и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найдите ве­роятность появления синего шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен белый шар.

[0,5]

25. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей из которых 3 в переплете. Библиотекарь наудачу взял 2 учебника. Найдите вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

[0,2]

25. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобрали двух человек. Найдите вероятность того, что все отобран­ные лица окажутся мужчинами.

25. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найдите вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором два вопроса.

25. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до10. Наудачу извлекают по одному 2 кубика. Найдите веростность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, если кубики извлека­ются без возвращения.

25. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно шести. Найдите вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.

25. Среди 50 электрических лампочек три нестандартные. Найдите ве­роятность того, что две взятые подряд лампочки окажутся нестандартными.

22.Работница обслуживает два станка, работающие независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания работницы, для первого станка равна 0,9, для второго - 0,8. Найдите ве­роятность того, что в течение часа ни один из двух станков не потребует
внимания работницы.

[0,72

23. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на обеих костях выпадут шестерки?

24.Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета, равны по 0,9, на третий —0,8. Найдите вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить на все вопросы.

[0,648]

25. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го раз­мера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что пять первых покупателей потребуют обувь 41-го размера.

[0,00032]

26. В семье трое детей. Принимая события, состоящие в рождении мальчика и девочки, равновероятными, найдите вероятность того, что в се­мье: а) все мальчики; б) дети одного пола.

(а) [0,125]; б) [0,25]

27. В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные красные. Определите вероятность того, что вынутые наудачу две нити будут: а) белые; б) красные; в) одного цвета.

[а) 0,09; б) 0,49; в) 0,58]

28. Пусть вероятность того, что человек умрет на 71-м году жизни, равна 0,04. Какова вероятность того, что из трех человек семидесяти лет через год все будут живы?

[0,88]

29. Вероятность установления в данной местности устойчивого снеж­ного покрова с октября равна 0,1. Определите вероятность того, что в бли­жайшие три года в этой местности устойчивый снежный покров с октября не установится ни разу.

[0,729]

30. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочнике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найдите вероятность того, что формула содержится во всех трех справочниках. [0,336]

31. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что хотя бы на одном, из кубиков выпадет 6 очков?

32. Производятся два выстрела по одной и той же мишени. Вероят­ность попадания при первом выстреле равна 0,6, для второго — 0,8. Най­дите вероятность того, что в мишени будет хотя бы одна пробоина. [0,92]

33. В специализированную больницу поступают в среднем 50% боль­ных с заболеванием К, 30% — с заболеванием L, 20%— с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней L и М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Найдите вероятность того, что больной, поступивший в больницу, будет выписан здоровым.

[0,77]

34. Для посева заготовлена смесь семян пшеницы 4 сортов. Зерен перво­го сорта 96%, второго— 1%, третьего —2% и четвертого сорта— 1%. Ве­роятности того, что из зерна каждого сорта вырастает колос, содержащий не менее 50 зерен, соответственно равны: 0,50; 0,15; 0,20; 0,05. Какова вероятность того, что колос, выросший из произвольно взятого из за­готовленной смеси зерна, будет содержать не менее 50 зерен? [0,4995]

35. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника — 0,9, для велосипедиста — 0,8 и для бегуна — 0,75. Найдите вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму. [0,86]

36. Партия электрических лампочек на 20% изготовлена первым заво­дом, на 30% — вторым и на 50% — третьим заводом. Для первого завода вероятность выпуска бракованной лампочки равна 0,01, для второго — 0,005 и для третьего — 0,006. Какова вероятность того, что наудачу взятая из партии лампочка окажется бракованной [0,0065]

37. Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 — во втором, а ос­тальные — в третьем. Первый и третий цехи изготавливают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй — с вероятностью 0,6. Ка­кова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

[0,78]

38. На четырех карточках написаны буквы А, Е, П, Р.Карточки пере­мешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что полу­чится слово РЕПА?

40. В урне находятся 15 шаров, из них 9 красных и 6 синих. Найдите вероятность того, что вынутые наугад два шара оба окажутся красными.

41. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность того, что сум­ма выпавших очков равна 4.

42. В ящике имеется n шаров: m белых и n - m черных. Какова ве­роятность того, что среди r наудачу вынутых шаров окажется k белых?

К главе II

1. В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимости кото­рых 2100 и 600 р. Составьте закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего один билет.

 

Сумма выигрыша
Вероятность	0,98	0,01	0,01

2. Случайная величина задана законом распределения:

X
р	0,1	0,6		0,1

Какова вероятность, что она примет значение 4? [0,2]

3. Найдите математическое ожидание случайной величины Х, заданной законом распределения:

X	-4
р	0,2	0,3	0,5

А)

 

X	0,21	0,54	0,61
Р	0,1	0,5	0,4

Б)

X
Р	0,2	0,1	0,4	0,3

В)

[а) 6; б) 0,535; в) 5,3]

 

4. Найдите математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y:

a) Z=X+Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

б) Z=3*+4y, M(X) = 2, M/(У) = 6.

[а) 8; б) 30]

 

5. Производятся 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р1=0,4; р2=0,3 и р3=0,6. Найдите математическое ожидание общего числа попаданий. [1,3]

6. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

X
р	0,2	0,1	0,4	0,3

 

Y
Р	0,3	0,1	0,2	0,4

Найдите математическое ожидание случайной величины XY.

[23,32]

7. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения х1=4 с вероятностью р1=0,5; х2=6 с вероятностью р1=0,3 и х3 с вероятностью р3. Найдите х3 и р3, зная, что М(Х)=8. [х3=21, р3=0,2]

8. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х1=-1; х2=0; х3=1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х)=0,1; . Найдите вероятности р1, р2, р3, соответсвующие возможным значениям х1, х2, х3.

[р1=0,4; р2=0,1; р3=0,5]

9. Найдите дисперсию случайной величины Х, заданной законом распределения:

 

А)

X	-1
Р	0,2	0,3	0,5

Б)

X
Р	0,1	0,2	0,3	0,4

[а) D(X)=0,61; б) D(X)=1]

10. Определите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, если закон распределения имеет вид:

X
р	0,2	0,1	0,3	0,4

[а) M(X)=2,6; б) D(X)=2,44]

11. Случайная величина Х распределена по закону:

X
р	1/4	1/8	1/4	1/8	1/4

Найдите М(Х), D(X), (X). [М(Х)=6, D(X)=9, (X)=31.]

12.Найдите D(X) и (X) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

X	-5
р	0,4	0,3	0,1	0,2

[D(X)=15,21, (X)=3,9.]

 

 

13. Известны дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: D(X)=5, D(Y)=6. Найдите дисперсию суммы этих двух величин. [11]

14. Найдите дисперсии следующих величин: а) 2Х; б) -3Х, если D(X)=4. [а) 16 б) 36]

15. Дискретная случайная величина Х распределена по закону:

X
р	0,1	0,4	0,5

Найдите начальные моменты первого и второго порядков.

[v1 = 3,9; v2=16,5]

 

16. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X
р	0,1	0,3	0,6

 

Найдите центральный момент второго порядка.[m2=1,29]

17. Случайная величина X задана интегральной функцией:

0 при х<=-1

F(x)= при -1 <х<= 1/3

1 при х >1/3

Найдите вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (0; 1/3)

[0,25]

18. Случайная величина X на всей оси Ох задана интегральной функ­цией F(x)= . Найдите вероятность того, что в результате ис­пытания величина X примет значение, заключенное в интервале (0; 1).

[0,25]

19. Случайная величина X задана интегральной функцией

0 при х<=-2

F(x)= при -2 <х<= 2

1 при х >2

Найдите вероятность того, что в результате испытания величина X примет.значение, заключенное в интервале (-1; 1).

[1/3]

20. Функция

является плотностью вероятности случайной величины X. Найдите коэф­фициент а и функцию распределения F(x).

[ ]

21. Случайная величина Х задана по всей оси Ох плотностью вероятности

1+х2 '

Найдите постоянный параметр а.

[a=1/2П]

 

22. Случайная величина X задана плотностью вероятности

0 при х<=-

f(x)= при - <х<=

0 при х >

Найдите коэффициент а. [a=1 ]

23. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = 2/3sin3x в интервале (0; П/3), вне этого интервала f(х) = 0. Найдите вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (П/6;П/4)

[ ]

24. Случайная величина X задана плотностью вероятности

0 при х <= 0;

f(x) = 2х при 0 < х < =1;

0 при х > 1.

 

Найдите математическое ожидание случайной величины X

[2/3]

25. Случайная величина X задана плотностью вероятности

0 при х <= -2;

f(x) = 1/4 при -2 < х < =2;

0 при х > 2

 

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

[M(X)=0; D(X)=4/3]

26. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее выиграть: одну партию из двух или две партии из четырех (ничьи во внимание не принимаются)?

[Вероятнее выиграть одну партию из двух]

27. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 70%. Опре­делите вероятность того, что из трех посеянных семян взойдут: а) два; б) не менее двух.- [а) 0,441; б) 0,784]

28. В семье пятеро детей. Найдите вероятность того, что среди этих детей два мальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

[0,31]

29. Монету бросали четыре раза. Чему равна при этом вероятность вы­падения герба два раза?

[0,375]

 

30. Монета подбрасывается три раза. Какова вероятность того, что герб появится не менее двух раз?

[0,5]

31. Монета подбрасывается три раза. Рассматривается случайная вели­чина X— число появлений герба. Найдите закон распределения случайной величины X.

 

X
р	0,125	0,375	0,375	0,125

32. Найдите математическое ожидание числа бракованных изделий в партии из 10 000 изделий, если каждое изделие может оказаться брако­ванным с вероятностью 0,005.

[50 изделий]

33. Из всей выпускаемой фабрикой продукции 98% составляют изде­лия со Знаком качества. Найдите: а) математическое ожидание и б) дис­персию числа изделий со Знаком качества в партии из 5000 изделий.

[а) 4900; б) 98]

34. Подлежат исследованию 1200 проб руды. Пусть вероятность про­мышленного содержания металла в каждой пробе равна 0,09. Найдите: а) математическое ожидание и б) дисперсию числа проб с промышленным содержанием металла.

[а) 108; б) 98,28]

35. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 3 и 2. Найдите плотность вероятности случайной величины X f(x).

36. Напишите дифференциальную функцию нормально распределен­ной случайной величины X, зная, что М(Х) = 3, D(X) = 16.

37. Нормально распределенная случайная величина X задана дифференциальной функцией

Найдите математическое ожидание и дисперсию X.

[М(Х) = 1, D(X) = 25]

38. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нор­мально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 и 2. Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значе­ние, заключенное в интервале (12; 14).

[0,1359]

39. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найдите вероятность того, что в результате испытания X примет значе­ние в интервале (15; 25).

[0,6826]

40. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно 5 см, а среднее квадратическое отклонение равно 0,9 см. Найдите вероятность того, что отклонение диаметра наудачу взятой детали от математи­ческого ожидания по абсолютной величине будет меньше 2 см.

[0,9736]

41. Проводится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением = 20 г. Найдите вероятность того, что взвешивание будет проведено с ошибкой, которая по абсолютной ве­личине меньше 10 г.

[0,383]

42. АТС получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно 2 вызова?

[0,09]

43. Среди 1000 человек приблизительно 8 левшей. Какова вероятность того, что среди сотни наугад выбранных человек не окажется ни одного левши?

[0,4493]

44. Монету подбрасывают 100 раз. Какова вероятность того, что при этом герб выпадет ровно 50 раз?

[0,08]

45. Какова вероятность того, что при 200-кратном бросании монеты число случаев выпадения герба удовлетворяет неравенству 95 < < 105?

[0,5224]

46. Вероятность получения по лотерее проигрышного билета равна 0,1. Какова вероятность того, что среди 500 наугад купленных билетов не ме­нее 48 и не более 55 безвыигрышных?

[0,3913]

47. Какова вероятность того, что при подбрасывании монеты три раза герб выпадет по крайней мере один раз?

[7/8]

К главе III

1. Найдите законы распределения составляющих дискретной двумер­ной случайной величины, заданной законом распределения

 

X			Y	Y1=0,4	Y2=0,8
X1 ==2	=			0,15	0,05
X2	= 5		0,30	0,12
X3	=			0,35	0,03

 

X р

0,20

0,42

0,38

Y Р

0,4 0,80

0,8 0,20

2. Найдите вероятность того, что составляющая X двумерной случай­ной величины (X, Y) примет значение Х<2 и при этом составляющая Y примет значение Y< 4, если известна функция распределения величины (X, Y).

F(x, у) =

[0,849]