Определение ограниченной и неограниченной функции. Теорема об ограниченной функции, имеющей предел. . Теорема об ограниченности обратной функции.

Пусть задана функция y=f(x), определенная на некотором множестве D значений аргумента.
Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M. Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве D.
Пример:
Функция y=sin x, определенная при -∞<x<+∞,>0, что при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x|>N, функция f(x) ограничена.
Если функция f(x) имеет предел в точке a ,то она ограничена в некоторой окрестности точки a.
Доказательство:

Пусть , тогда , отсюда
получаем . Обратное неверно.

Контрольный пример:
в окрестности точки 0.
– не существует.

 

Бесконечно малые и их свойства.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

1. Функция f(x)=(x-1)² является бесконечно малой при x→1, так как (см. рис.).
2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.
3. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.
4. f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.
   
   Основные свойства бесконечно малых функций (б.м.)

1° Сумма конечного числа б.м. функций является функцией бесконечно малой.
2° Произведение б функции на ограниченную есть функция бесконечно малая.
3° Произведение двух б.м функций есть функция бесконечно малая..
4° Произведение б.м функции на константу является бесконечно малой функцией.
5° Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция бесконечно малая.
6° Функция , обратная к б.м функции , есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они
существуют:

Доказательство:


Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:



Получаем

Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют:
Доказательство:


Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:


Получаем Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: . При
условии: все пределы существуют и .
Доказательство:


Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

;
Получаем:

Теорема 4. Предел сохраняет знак неравенства. Если .

Доказательство:

Следовательно,
Следствие:

Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел:

 

20-21. Первый и второй замечательные пределы и следствия.
Теорема. Первый замечательный предел .
Доказательство (геометрическое):

Так как , то .

Следствия из теоремы:

1)
2)
3)
4)
5)
Теорема. Второй замечательный предел .
Доказательство:
Бином Ньютона:
, где .
Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:

Отсюда заключаем, что , а значит .
Следствия из теоремы:
1)
2)
3)
4)

 

22. Сравнения бесконечно малыхвеличин (б.м.в.) Эквивалентные бесконечно малые.

Пусть – бесконечно малые величины при , т.е. .
Определение 1. Если , то – б.м.в. одного порядка малости.
Определение 2. Если , то – б.м.в. более высокого порядка, чем .
– более высокого порядка, чем ("о" – читается как "о малое").
– более низкого порядка, чем ("О" – читается как "О большое").
Определение 3. Если , то и эквивалентны – .
Следствие из определения 3: при Теорема. Если и эквивалентны (), то и Доказательство:
Пусть – бесконечно малые величины при и они эквивалентны ).
Тогда .
Б.м. функции и называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при , если
Обозначают: при .

Непрерывность функции. Определение непрерывности функции в точке и на промежутке. Теорема об арифметических действиях над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Ограниченность непрерывной функции.

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области .
Функция называется непрерывной справа в точке , если .
Функция называется непрерывной слева в точке , если .
Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть и непрерывной слева в точке , то есть .

Теорема об арифметических действиях:
Если функция f(x)- непрерывна в т. x₀, j(x) непрерывна в т. x₀, тогда:
1) f(x) ± j(x) - непрерывная функция в т. x₀,
2) f×j - непрерывная функция в т. x₀,
3) f/j, j(x₀)¹0 - непрерывно в т. x₀.

26. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции на замкнутом промежутке.

1) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

И зображенная на рисунке
функция непрерывна на отрезке и принимает свое наибольшее значение M в точке , а наименьшее m – вточке . Для любого справедливо неравенство: .
2) Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует постоянная такая, что

 

27. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении функции.
Если непрерывная функция, определённая на вещественном интервале, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Следствия теоремы Больцано-Коши

1. Теорема о нуле непрерывной функции.
Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой значение функции равно нулю.

2. В частности любой многочлен нечётной степени имеет, по меньшей мере, один нуль.

28. Определение обратной функции. Теорема о непрерывности обратной функции.
Определение: Пусть функция y=f(x) с областью определения D(f) и множеством значений R(f). Обратная к f — функция f−1 определяется как функция с областью определения D(f−1)=R(f) и множеством значений R(f−1)=D(f), такая что f−1(y)=x тогда и только тогда, когда f(x)=y. Таким образом, f−1 возвращает y обратно в x.
Примеры:
Найти функцию, обратную функции y=3x+5.
Решение: Функция y=3x+5 определена и возрастает на всей числовой оси. Следовательно, обратная функция существует и возрастает. Разрешая уравнение относительно x, получим x=(y−5)/3.
Показать, что функция y=kx, где (k≠0) обратна сама себе.
Решение: Функция y=kx определена и монотонна на всей числовой оси, кроме точки x=0. Следовательно, обратная функция существует. Область значений функции — вся числовая ось, кроме точки y=0. Разрешая уравнение относительно x, получим x=k/y.
Теорема о непрерывности обратной функции:
Если и строго возрастает(убывает) на , то на определена функция , которая будет обратная к , непрерывная на и строго возрастать(убывать) на .
Доказательство:
Предположим, что функция строго возрастает на промежутке .
По следствию из функций область значений непрерывной функции тоже есть промежуток.
В силу строгого возрастания функции для каждого существует единственная точка такая, что .
Следовательно, для функции существует обратная функция определенная на промежутке и с множеством значений .
Покажем, что строго возрастает на .
Пусть и — две произвольные точки из , такие, что и прообразами этих точек будут точки и . и .
Поскольку — строго возрастающая функция, то неравенство возможно тогда и только тогда когда или тоже самое, когда .
В силу произвольности делаем вывод, что функция — строго возрастает на множестве .